Решение транспортных задач (стр. 3 из 5)

В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость

. Запишем в клетку таблицы (3,2) перевозку Исключаем из рассмотрения второго потребителя, а из матрицы С второй столбец. Вычисляем

В оставшейся части матрицы С наименьшая стоимость

Запишем в клетку таблицы (3,3) перевозку Исключаем из рассмотрения третьего поставщика, а из матрицы С третью строку. Определяем .

В матрице С остался единственный элемент

. Записываем в клетку таблицы (2,3) перевозку .

Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток таблицы равно N=m+n-1=3+4-1=6. Применяя метод вычеркивания, проверяем линейную независимость векторов условий, соответствующих положительным координатам решения. Порядок вычеркивания показан на матрице Х:

1 2 5 6

Решение является «вычеркиваемым» и, следовательно, опорным.

Переход от опорного решения к другому. В транспортной задаче переход от оного опорного решения к другому осуществляется с помощью цикла. Для некоторой свободной клетки таблицы строится цикл, содержащий часть клеток, занятых опорным решением. По этому циклу перераспределяются объемы перевозок(осуществляется сдвиг по циклу). Перевозка «загружается» в выбранную свободную клетку и освобождается одна из занятых клеток, получается новое опорное решение.

Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то для любой свободной клетки таблицы существует единственный цикл, содержащий эту клетку и часть клеток, занятых опорным решением.

Для удобства вычислений вершины циклов нумеруют и отмечают нечетные знаком «+», а четные знаком «-». Такой цикл называется означенным.

Сдвигом по циклу на величину

называется увеличение объемов перевозок во всех нечетных клетках цикла, отмеченных знаком «+», и уменьшение объемов перевозок на ту же величину во всех не четных клетках, отмеченных знаком «-».

1.2.3 МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ

Широко распространенным методом решения транспортных задач является метод потенциалов.

Если допустимое решение

, i=1,2,…,m; j=1,2,…n транспортной задачи является оптимальным, то существуют потенциалы (числа) поставщиков i=1,2,…,m и потребителей j=1,2,…,n, удовлетворяющее следующим образом:

Группа равенств (2.1) используется как система уравнений для нахождения потенциалов. Данная система уравнений имеет m+n неизвестных

i=1,2,…,m и j=1,2,…,n. Число уравнений системы, как и число отличных от нуля координат невырожденного опорного решения, равно m+n-1. Так как число неизвестных системы на единицу больше числа уравнений, то одной из них можно задать значение произвольно, а остальные найти из системы.

Группа неравенств (2.2) используется для проверки оптимальности опорного решения. Эти неравенства удобнее представить в следующем виде:

(2.3)

Числа

называются оценками для свободных клеток таблицы (векторов условий) транспортной задачи.

Опорное решение является оптимальным, если для всех векторов условий (клеток таблицы) оценки неположительные.

Оценки для свободных клеток транспортной таблицы используются при улучшении опорного решения. Для этого находят клетку (l,k) таблицы, соответствующую

. Если , то решение оптимальное. Если же , то для соответствующей клетки (l,k) строят цикл и улучшаю решение, перераспределяют груз

по этому циклу.

Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов:

1. Проверить выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то вводится фиктивный поставщик или потребитель с недостающими запасами или запросами и нулевыми стоимостями перевозок.

2. Построить начальное опорное решение (методом минимальной стоимости или каким-либо другим методом), проверить правильность его построения по количеству занятых клеток (их должно быть m+n-1) и убедиться в линейной независимости векторов условий (используется метод вычеркивания).

3. Построить систему потенциалов, соответствующих опорному решению. Для этого решают систему уравнений:

которая имеет бесконечное множество решений. Для нахождения частного решения системы одному из потенциалов (обычно тому, которому соответствует большее число занятых клеток) задают произвольно некоторое значение (чаще нуль). Остальные потенциалы однозначно определяются по формулам:

если известен потенциал

, и

если известен потенциал

4. Проверить выполнения условия оптимальности для свободных клеток таблицы. Для этого вычисляют оценки для всех свободных клеток по формулам

и те из них, которые больше нуля, записываются в левые нижние углы клеток. Если для всех свободных клеток

, то вычисляют значение целевой функции и решение задачи заканчивается, так как полученное решение является оптимальным. Если же имеется хотя бы одна клетка с положительной оценкой, опорное решение не является оптимальным.

5. Перейти к опорному решению, на котором значение целевой функции будет меньше. Для этого находят клетку таблицы задачи, которой соответствует наибольшая положительная оценка

Строят цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть клеток, занятых опорным решением. В клетках цикла расставляют поочередно знаки «+» и «-», начиная с «+» в клетке с наибольшей положительной оценкой. Осуществляют сдвиг (перераспределение груза) по циклу на величину

. Клетка со знаком «-», в которой достигается остается пустой. Если минимум достигается в нескольких клетках, то одна из них остается пустой, а в остальных проставляют базисные нули, чтобы число занятых клеток оставалось равным .

Далее перейти к пункту 3 данного алгоритма.

1.2.4 МЕТОД СЕВЕРО-ЗАПАДНОГО УГЛА

Согласно данному методу запасы очередного поставщика используются для обеспечения запросов очередных потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используется запасы следующего по номеру поставщика.

Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или потребитель. При этом нулевые перевозки принято заносить в таблицу только в том случае, когда они попадают в клетку (i,j), подлежащую заполнению, т.е. в таблицу заносятся только базисные нули

, остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.