Решение транспортных задач (стр. 2 из 5)

Запишем матрицу стоимостей

.

Целевая функция задачи равна сумме произведений всех соответствующих элементов матриц С и Х:

Данная функция, определяющая суммарные затраты на все перевозки, должна достигать минимального значения.

Составим систему ограничений задачи. Сумма всех перевозок, стоящих в первой строке матрицы Х, должна равняться запасам первого поставщика, а сумма перевозок во второй строке матрицы Х – запасам второго поставщика:

Это означает, что запасы поставщиков вывозятся полностью.

Суммы перевозок, стоящих в каждом столбце матрицы Ч, должны быть равны запросам соответствующих потребителей:

Это означает, что запросы потребителей удовлетворяются полностью.

Необходимо также учитывать, что перевозки не могут быть отрицательными:

i=1,2,…,m; j=1,1,…,n.

Ответ: математическая модель задачи формулируется следующим образом: найти переменные задачи, обеспечивающие минимум функции

и удовлетворяющие системе ограничений

и условиям неотрицательности

i=1,2,…,mj=1,2,…,n.

1.2 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ

1.2.1 СБАЛАНСИРОВАННОСТЬ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ

Транспортная задача является сбалансированной, если суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е.

.

Если транспортная задача не сбалансирована, то возникают особенности в ее решении.

Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом:

1.Если суммарные запасы поставщиков превосходят суммарные запросы потребителей, т.е.

то необходимо ввести фиктивного (n+1)-го потребителя с запросами

равными разности суммарных запасов поставщиков и запросов потребителей, и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза

2. Если суммарные запросы потребителей превосходят суммарные запасы поставщиков, т.е.

то необходимо ввести фиктивного (m+1)-го поставщика с запасами

равные разности суммарных запросов потребителей и запасов поставщиков, и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза

3. При составлении начального опорного решения в последнюю очередь следует распределять запасы фиктивного поставщика и удовлетворять запросы фиктивного потребителя, несмотря на то, что им соответствует наименьшая стоимость перевозок, равная нулю.

1.2.2 ОПОРНОЕ РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ

Опорным решением транспортной задачи называется любое допустимое решение, для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам, линейно независимы.

Ввиду того, что ранг системы векторов условий транспортной задачи равен N=m+n-1, опорное решение не может иметь отличных от нуля координат больше, чем N.

Для проверки линейной независимости векторов условий, соответствующих координатам допустимого решения, используют циклы.

Циклом называется такая последовательность клеток таблицы транспортной задачи

в которой две и только соседние клетки расположены в одной строке или столбце, причем первая и последняя также находятся в одной строке или столбце.

Система векторов условий транспортной задачи линейно независима тогда и только тогда, когда из соответствующих им клеток таблицы нельзя образовать ни одного цикла. Следовательно, допустимое решение транспортной задачи

, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n является опорным только в том случае, когда из занятых им клеток таблицы нельзя образовать ни одного цикла.

Метод вычеркивания. Для проверки возможности образования цикла используется так называемый метод вычеркивания, который состоит в следующем.

Если в строке или столбце таблицы одна занятая клетка, то она не может входить в какой-либо цикл, так как цикл имеет две и только две клетки в каждом столбце. Следовательно, можно вычеркнуть все строки таблицы, содержащие по одной занятой клетке, затем вычеркнуть все столбцы, содержащие по одной занятой клетке, далее вернуться к строкам и продолжить вычеркивание строк и столбцов. Если в результате вычеркивания все строки и столбцы будут вычеркнуты, значит, из занятых клеток таблицы нельзя выделить часть, образующую цикл, и система соответствующих векторов условий является линейно независимой, а решение опорным. Если же после вычеркиваний останется часть клеток, то эти клетки образуют цикл, система соответствующих векторов условий линейно зависима, а решение не является опорным.

Метод минимальной стоимости. Данный метод позволяет построить опорное решение, которое достаточно близко к оптимальному, так как использует матрицу стоимостей транспортной задачи

, i=1,2,…,m; j=1,2…,n. Данный метод состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости , и исключается из рассмотрения только одна строка(поставщик) или один столбец(потребитель). Очередную клетку, соответствующую , заполняют также. Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы заканчиваются. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы удовлетворены полностью. На каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик не исключен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда от него требуется поставить груз, в соответствующую клетку таблицы заносится базисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения. Аналогично поступают с потребителем.

Пример 2:

Используя метод минимальной стоимости, построить начальное опорное решение транспортной задачи, доставки лекарств из трех складов в четыре аптеки.

Таблица 3

	80	120	160	120
120	1	3	4	2
160	4	5	8	3
200	2	3	6	7

Решение. Запишем отдельно матрицу стоимостей для того, чтобы удобнее было выбирать стоимости, вычеркивать строки и столбцы:

1 4 6 3

среди элементов матрицы стоимостей выбираем наименьшую стоимость

. Это стоимость перевозки груза от первого поставщика первому потребителю. В соответствующую клетку (1,1) записываем максимально возможную перевозку (табл 4). Запасы первого поставщика уменьшаем на 80, . Исключаем из рассмотрения первого потребителя, так как его запросы удовлетворены. В матрице С вычеркиваем первый столбец.

Таблица 4

	80	120	160	120
120	180	3	4	240
160	4	5	880	380
200	2	3120	680	7

В оставшейся матрицы С наименьшей является стоимость

, максимально возможная перевозка, которую можно осуществить от первого поставщика к четвертому потребителю, равна . В соответствующую летку таблицы записываем перевозку . Запасы первого поставщика исчерпаны, исключаем его из рассмотрения. В матрице С вычеркиваем первую строку. Запросы четвертого потребителя уменьшаем на 40

В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость

. Заполняем одну из двух клеток таблицы (2,4) или (3,2). Пусть в клетку (2,4) запишем . Запросы четвертого потребителя удовлетворены полностью, исключаем его из рассмотрения, вычеркиваем четвертый столбец в матрице С. Уменьшаем запасы второго поставщика