Решение задачи линейного программирования симплекс-методом (стр. 4 из 6)

2. Рассмотрим ограничение (3) прямой задачи:

.

При введении искусственных переменных в целевую функцию вводятся коэффициенты штрафа М, поэтому для задачи максимизации получим:

.

Т. о., при решении задачи максимизации ограничениям прямой задачи, имеющим знак равенства, соответствуют двойственные переменные, не ограниченные в знаке

.

3. Рассмотрим ограничение (4) прямой задачи:

В целевой функции избыточные переменные имеют коэффициенты, равные нулю (

), а искусственные переменные коэффициенты, равные величине штрафа со своим знаком, в результате для задачи максимизации получим:

Т. о., при решении задачи максимизации ограничениям прямой задачи, имеющим знак

, соответствуют неположительные двойственные переменные .

4. Если в прямой задаче есть переменная, неограниченная в знаке, то в двойственной задаче получатся два ограничения, имеющие одинаковые коэффициенты при двойственных переменных, но разные знаки ограничений. Для удобства решения эти ограничения сворачивают в одно со знаком равенства (тем самым число ограничений двойственной задачи сводится к числу исходных переменных прямой задачи).

По аналогии можно записать условия двойственной задачи при решении задачи минимизации. Для удобства пользования некоторые соотношения при переходе от прямой задаче к двойственной приведены в таблице.

Прямая задача		Двойственная задача
Целевая функция	Ограничения	Целевая функция	Ограничения	Переменные
Максимизация		Минимизация
	=
Минимизация		Максимизация
	=

В двойственной задаче переменные могут быть неотрицательными (

), не ограниченными в знаке ( ), неположительными ( ). При решении ДЗ, как и ПЗ должны выполняться условия неотрицательности ограничений и переменных. Для представления двойственной задачи в стандартной форме используются следующие подстановки:

если переменная

не ограничена в знаке, то ;

если

, то .

Такие подстановки следует использовать во всех ограничениях, содержащих эти переменные, а также в выражении для целевой функции.

После приведения ДЗ к стандартному виду используется симплекс - метод. Алгоритм получения решения тот же, что и для прямой задачи.

II. Практическая часть

1. Решение задачи линейного программирования графическим методом.

Дана следующая задача линейного программирования (ЗЛП).

,

1.1. Все ограничения задачи

.

1.2. Переменная

ограниченна в знаке, поэтому . Переменная не ограничена в знаке, поэтому вводим замену , где .

Область допустимых решений будет ограничиваться I и IV квадрантом.

1.3. Построение ограничений и градиента целевой функции

:

1.4. Область допустимых решений – отрезок AB.

1.5. Точка А – оптимальная. Координаты т. А:

; ; .

2. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом.

Прямая задача.

Задачу линейного программирования для любой вершины в компактной форме можно представить в виде:

Для получения используем алгоритм, приведённый в теоретической части.

1. Переход от неравенств к равенствам по правилам введения дополнительных переменных. Исходную задачу необходимо привести к стандартной форме: введем замену по переменной

, и дополнительные переменные:

,

Полученный вид ЗЛП не позволяет сформировать начальный допустимый базис, т. к. нельзя выделить единичные орты во втором и третьем равенствах. Для получения начального допустимого базиса введём искусственные переменные. В результате получим:

,

2. Общее число переменных определим по формуле:

=3+2+2=7, где - число искусственных переменных. Число базисных переменных определяется числом ограничений, т. к. , то система имеет три базисные переменные и небазисные переменные .