Рекурсия (стр. 4 из 12)
Еще один вариант вычисления n! можно реализовать с помощью рассмотренной ниже в задаче 20 функции Кадью.
3.2 Сложный процент
Задача 2.Вкладчик положил в сбербанк сумму в sum единиц под p процентов за один период времени (год, месяц, неделя и т.д.). Составить программу-функцию возвращающую величину вклада по истечении n периодов времени (n = 1, 2,).
Решение. Пусть invest(sum,p,n) искомая функция. Для данной задачи вычисления значений invest() можно проводить по формуле
invest(sum,p,n) = sum×(1+p/100)n .
Однако, в учебных целях, нас интересует рекурсивный вариант алгоритма решения задачи. Рекурсию будем осуществлять по параметру n. Тривиальный случай очевиден. Если вклад положен на хранение и взят сразу, то есть до истечения первого периода времени начисления процентов, то возврату подлежит начальная сумма вклада - sum. Далее, декомпозиция может быть реализована исходя из следующего факта. Положить некоторую сумму в банк на n периодов – это то же самое, что положить эту сумму на n – 1 периодов и затем полученную сумму положить на 1 период. Соответствующий вариант программы-функции решения задачи выглядит так:
Контрольные примеры.
Схема рекурсивных вызовов здесь такая же, как при вычислении значений функции facto(n). Нетрудно видеть, что общее количество рекурсивных вызовов при вычислении invest(sum,p,n) равно n. При необходимости можно было бы уменьшить это значение до log2(n).
3.3 Степень числа
Задача 3. Пусть a- вещественное число отличное от нуля и n- целое неотрицательное число. Составить программу-функцию возвращающую величину an.
Решение. Приведенная ниже функция power(a,n) дает решение задачи за n рекурсивных вызовов:
Уменьшить количество вызовов можно так. Организуем декомпозицию иначе, представив величину an в виде:
Отсюда сразу же получаем алгоритм вычисления an, требующий не более log2(n) рекурсивных вызовов. Реализуется он функцией pow(a,n):
Сумма элементов массива
Задача 4. Составить программу-функцию, возвращающую сумму S компонентов вектора v=(a0,a1,…,an-1)T: S= a0+a1+…+an-1, где n³1 и ap (p=0..n-1) - вещественные или комплексные числа.
Решение. Определение суммы n слагаемых в виде:
S= a0+a1+…+an-1=(a0 +a1+…+an-2)+an-1
рекурсивно по своей сути. Сумма n слагаемых есть сумма первых (n-1)-го слагаемого плюс сумма последнего слагаемого. Этот факт и положен в основу определения функции summa(v), где v=(a0,a1,…,an-1)T.
3.4 Произведение элементов массива
Задача 5. Составить программу-функцию, возвращающую произведение P компонентов вектора v=(a0,a1,…,an-1)T: P= a0×a1×…×an-1, где n³1 и ap (p=0..n-1) - вещественные или комплексные числа.
Решение. Определение произведения n сомножителей в виде:
P= a0×a1×…×an-1= (a0×a1×…×an-2)×an-1 ,
как и соответствующее определение суммы, рекурсивно по своей сути. Произведение n сомножителей есть произведение первых (n-1)-го сомножителей умноженное на последний сомножитель. Отсюда и определение функции product(v), где v=(a0,a1,…,an-1)T.
3.5 Числа Фибоначчи
Задача 6. Составить программу-функцию вычисления n-го числа Фибоначчи, исходя из рекуррентного определения этих чисел:
f(0)=f(1)=1, f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n=2,3,…).(1)
Решение. Наличие рекуррентного соотношения вида (1) сразу же определяет и базу рекурсии, и способ декомпозиции. Программа-функция fib(n) написана строго в соответствии с определением (1).
Контрольные примеры.
Функция fib(n) вряд ли подходит для вычисления чисел Фибоначчи при больших n. И происходит это потому, что в данном случае с ростом n дерево рекурсивных вызовов очень быстро разрастается. На рис. 3.3 представлена схема рекурсивных вызовов для fib(5) (имя функции обозначено через f).
 |
Рис. 3.3. Схематическое изображение рекурсивных вызовов при
нахождении f(5)
Для ускорения вычислений можно было бы учесть, что
Это приводит к следующей рекурсивной программе функции:
Отметим, что теперь количество рекурсивных вызовов для fiboo(n) имеет порядок равный log2(n) и, скажем, fiboo(200) в символьной форме вычисляется практически мгновенно.
Контрольные примеры.
fiboo(0)=1 fiboo(1)=1 fiboo(10)=89
fiboo(200) ® 453973694165307953197296969697410619233826
3.6 Алгоритм Ламберта вычисления e
Задача 7. Составить программу вычисления приближения к основанию натуральных логарифмов, то есть к числу е, используя следующий алгоритм Ламберта:
Решение. Указанный алгоритм предложен Ламбертом в 1766 году [6, с.70]. Организовать по нему рекурсивные вычисления труда не составляет. Здесь величины a(k) и b(k) задаются рекуррентными соотношениями, похожими на определение чисел Фибоначчи, но нелинейными. Однако это обстоятельство не привносит каких-либо дополнительных затруднений в программную реализацию соответствующих функций. Дело в том, что задание последовательности любыми рекуррентными соотношениями сразу решает проблему триады: осуществлена параметризация задачи, выделена база и задана декомпозиция.
Программа e(k) приближенно вычисляет e, обращаясь к рекурсивным функциям-подпрограммам a(k) и b(k):
Учитывая, что последовательности a(k) и b(k) (k=0,1,2, …) определяются весьма схожим образом, можно построить одну общую функцию двух переменных для вычисления их членов. Отсюда ещё один вариант решения поставленной задачи:
Контрольный пример.
Мы видим, что уже е(5) »e с точностью до 9 знаков после десятичной точки, а начиная с e(8) уже все 15 знаков после точки верные. Если была бы необходимость вычислять по алгоритму Ламберта число e с большей точностью, то пришлось бы программно реализовывать арифметику длинных чисел.
Замечание. Предложенные варианты вычисления e можно было бы сделать существенно более эффективными, организовав в них динамические базы, пополняемые в процессе вычислений уже найденными значениями. Тем самым, исключив повторные вычисления элементов последовательностей, можно было бы вычислять a(k), b(k) и d(k,t) за k рекурсивных обращений.
3.7 Наибольший общий делитель
Задача 8. Составить программу-функцию возвращающую наибольший общий делитель двух натуральных чисел x и y.
Решение. Обозначим через nod(x,y) – наибольший общий делитель x и y. Известно, что
(2)На этих утверждениях базируется известный итеративный алгоритм Евклида, нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Внимательный взгляд на соотношения (2) приводит нас к убеждению, что фактически мы имеем рекурсивное определение функции nod(x,y). На языке Mathcad это надо было бы записать так.
Контрольные примеры.
Обобщим решенную задачу, составив программу-функцию, возвращающую наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел ap (p=0..n-1, n³1), являющихся компонентами вектора v=(a0,a1,…,an-1)T.
Обозначим через nodd(a0,a1,…,an-1) – наибольший общий делитель чисел ap (p=0..n-1). Поскольку
nodd(a0,a1,…,an-1)=nod(nodd(a0,a1,…,an-2),an-1) ,
то соответствующая программа-функция, вычисляющая nodd(v) будет выглядеть так:
Контрольный пример.
3.8 Наименьшее общее кратное
Задача 9. Составить программу-функцию, возвращающую наименьшее общее кратное натуральных чисел ap (p=0..n-1, n³2), являющихся компонентами вектора v=(a0,a1,…,an-1)T.