Разработка динамических моделей для транспортно-производственной системы (стр. 4 из 5)

Новый (оптимальный) план и соответствующая ему система оценок приведен в табл.5

Таблица 5

ПотребителиПоставщики	Михайловское		Лебедево		Озерное		Мощностьпоставщиков	u
Заря	14	20	14	15	15	∆1,3 = -3	35	0
Восход	16	∆ 2,1 = -2	11	30	9	15	45	3
Радуга	15	∆3,1 = -1	15	∆3,2 = -1	12	20	20	0
Потребностипотребителей	20		55		25		110
v	14		14		12

Рассчитав значения потенциалов v_j и u_i и величины ∆_i,j запишем их соответствующие клетки (табл.5). Значения ∆_i,j во всех незанятых клетках не больше нуля, что свидетельствует об оптимальности построенного плана, для которого значение целевой функции равно 1195. По сравнению с первым опорным планом затраты удалось снизить на 20 единиц.. Заметим, в одной из клеток ∆_4,1 = 0, что свидетельствует о неоднозначности оптимального плана, т.е. достигнутое значение целевой функции может быть получено и при других значениях переменных. При решении данной задачи в программе Excel мы получим значения, которые приведены в таблице 5 [5].

3.2 Двойственная задача.

Предположим, что речь идет об установлении таких цен, которые бы стимулировали организацию, ответственную за выполнение перевозок, действовать в соответствии с оптимальным планом и затрачивать минимум средств на перевозку. Разность цен на продукт у потребителей и поставщиков должна быть такой, чтобы исключить возможность "спекуляции", т.е. по каждому направлению транспортировки она не должна превышать транспортных расходов.

, i =1…N, j=1…M (1.4)

Критерием оптимальности в такой задаче можно принять разность взвешенной по оценкам продукции в пунктах потребления и пунктах поставок, которую нужно максимизировать:

(1.5)

Задача, модель которой описывает соотношения (1.4) и (1.5), называется двойственной к задаче (1.1) и (1.3).

Отметим, что решение задачи (1.4) и (1.5) неразрывно связано с оптимальным решением прямой задачи (1.1) - (1.3). Именно для оптимальных значений переменных x_i,j > 0 соотношения (1.5) выполняются как строгие равенства.

Важным для анализа свойством двойственных задач является совпадение оптимальных значений целевых функций (1.1) и (1.5):

(1.6)

В справедливости соотношения (1.6) легко убедиться на нашем примере, подставив в него конкретные значения из табл.1.3.

Поскольку в оптимальном случае целевые функции прямой и двойственной задач совпадают, то наличие в правой части равенства оценок дает возможность ранжирования поставщиков и потребителей по степени эффективности. Так, величина оценки u_i характеризует изменения целевой функции при изменении мощности поставщика на единицу. Легко заметить, что чем выше соответствующая оценка поставщика, тем выгоднее наращивать в нем производство.

Рассуждения о сравнительной эффективности потребителей прямо противоположны. Так как оценка пункта потребления v_j показывает прирост производственно-транспортных затрат в расчете на единицу прироста потребности в этом пункте, то самым эффективным будет пункт потребления, имеющий минимальное значение оценки (в рассмотренном выше случае - элеватор в Озерном). Следует иметь в виду, что пользоваться оценками и делать на их основе какие-либо выводы можно лишь в пределах устойчивости оптимального плана, т.е. до тех пор, пока не меняется базис решения. Если же стоит задача проанализировать рассмотренную ситуацию при резком (значительном) изменении исходных данных, то это следует делать путем проведения вариантных расчетов, введя в условия задачи необходимые изменения и заново ее оптимизировав. При наличии стандартного программного обеспечения и средств диалогового общения с ПЭВМ такие расчеты не представляют затруднений [5].

3.3 Трехэтапная транспортно-производственная модель.

Теперь, после рассмотрения основных понятий, необходимых для нахождения и анализа оптимального плана транспортной задачи вернемся к задаче, описанной в пункте 2.4 и рассмотрим все три ее этапа. Самый простой путь нахождения плана заготовки, транспортировки и переработки зерна состоит в решении последовательно двух задач: оптимизации связей (производители зерна) – (элеваторы) и последующей оптимизации переработки на элеваторах и транспортировки зерна на мелькомбинаты. Но этот путь приемлем лишь в том случае, когда суммарные объемы производства зерна, мощности элеваторов и потребности мелькомбинатов совпадают. В противном случае так поступать нельзя, потому что загрузка промежуточных пунктов – элеваторов, будет определяться лишь с точки зрения затрат первого этапа, что неверно. Для решения такого класса задач успешно используется метод “фиктивной” диагонали. Суть его состоит в том, что промежуточные пункты (в данном случае – элеваторы) представлены дважды: как потребители – на первом этапе транспортировки и как поставщики – на втором (табл.6).

Клетки табл. 6, лежащие на пересечении одноименных столбцов и строк, получили название “фиктивной” диагонали (отсюда и название метода) и имеют смысл ввоза продукта из промежуточных пунктов самим себе или говоря иначе объемы недоиспользования их мощностей. Нулевые затраты в этих клетках показывают, что недоиспользование мощностей элеваторов не связано с транспортно-производственными затратами.

Таблица 6

Постановка задачи и оптимальное решение

ПотребителиПоставщики	Мощность элеваторов						Потребность мелькомбинатов
	Михайловское		Лебедево		Озерное		Боровое		Мамонтово
Заря	14	20	14	15	15	35
Восход	16	11	40	9	5	45
Радуга	15	15	12	20	20
Михайлово	2	15	6	5	20
Лебедево	7	3	55	55
Озерное	4	25	9	25
20		55		25		40		60

Заштрихованные клетки означают, что вывоз зерна из пунктов производства непосредственно на мелькомбинаты, минуя элеваторы, запрещен, также как и перевозки между элеваторами. Если задача решается на ПЭВМ, то в качестве коэффициентов целевой функции переменных, соответствующих этим клеткам, следует поставить достаточно большое число, значительно (например, в 20 раз) превышающее коэффициенты затрат в других клетках. В таблице 7 кроме общей постановки задачи приведено и ее оптимальное решение, для которого суммарные затраты составляют 1540 тыс. руб.

Таблица 7

ПотребителиПоставщики	Мощность элеваторов						Потребность мелькомбинатов
	Михайловское		Лебедево		Озерное		Боровое		Мамонтово
Заря	14	10	14	25	15	35
Восход	16	0	11	30	9	11	45
Радуга	15	10	15	12	14	20
Михайлово	2	20	6	0	20
Лебедево	7	0	3	55	55
Озерное	4	20	9	5	25
20		55		25		40		60

При решении данной задачи на ПК получим решение, записанное в таблице 7. Цена перевозки при этом равна 1930 ед [5].

3.4 Зависимость параметров модели от параметров времени.

В данном разделе рассмотрим задачу, описанную выше. В этой задаче цена перевозок равна константе (c_i,j=const), но так как мы рассматривает транспортно-производственную задачу в динамике, то возможны изменения в цене перевозок. То есть c_i,j может изменять свои значения.

Рассмотрим от каких величин зависит значение стоимости перевозки:

1. Расстояние, на которое происходит перевозка продукции – r_i,j;

2. Стоимость топлива - p;

Таким образом стоимость перевозки равна:

c_i,j= r_i,j*p

Рассмотрим как может изменяться данный показатель с течением времени. Расстояние, на которое происходят перевозки не изменяется, поэтому:

r_i,j= const

Стоимость топлива может изменяться во времени. Этот показатель в основном дается в расходе на 100 км. дороги, которое проезжает транспортное средство. Возьмем этот показатель на примере автомобиля ЗИЛ-130, который расходует на 100 км. 30 литров топлива. Так как перевозки в данной ситуации происходят на расстояние, которое не превышает 100 км., то возьмем этот показатель на 1 км.

30/100=0,3 л.

Цена бензина за последние годы изменилась с 1,8 грн. до 3,6 грн.

Возьмем к примеру величину этих показателей, которые существуют в данный момент. Таким образом цена перевозок равна:

с_i,j= r_i,j*0,54

Для анализа исследуемой задачи рассчитаем расстояние, на которое происходят перевозки по формуле и запишем полученные данные в табл. 8:

r_i,j= с_i,j/0,54

Таблица 8

ПотребителиПоставщики	Мощность элеваторов			Потребность мелькомбинатов
	Михайловское	Лебедево	Озерное	Боровое	Мамонтово
Заря	25,93	25,93	27,78
Восход	29,63	20,37	22,22
Радуга	27,78	27,78	22,22
Михайлово	3,70	11,11
Лебедево	12,96	5,56
Озерное	7,41	16,67

Таким образом целевая функция измениться следующим образом: