Курсовая Работа
По дисциплине: математическая экономика
На тему: «Пространство товаров. Цены»
Выполнил:
Проверил:
2009
Оглавление
Введение
1. Векторы
2. Линейные пространства
3. Пространство товаров, цены.
4. Пространство товаров и система предпочтений
5. Потребительская корзина
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Сегодня товаром называют всё, что можно продать[1]. Часть современных товаров невозможно отнести к предметам: электроэнергия, информация, квоты, рабочая сила. Часть товаров никогда непосредственно не удовлетворяет человеческих потребностей и не используется в технологических процессах: ценные бумаги, деньги (особенно бумажные и электронные). Над частью товаров покупатели не получают полного права собственности: компьютерная программа, фонограмма, видеокассета. Сегодня самостоятельным товаром может выступать любое право на что-либо. При изготовлении вещи сразу же возникают различные права на эту вещь. В начале развития товарного обмена сама вещь была носителем всех прав, которые передавались вместе с передачей вещи и отдельно не вычленялись. Возможно, первым отделилось право пользования в виде аренды. Организационное, юридическое, техническое развитие общества позволило разделить некогда единое право собственности на большое число отдельных прав и независимо друг от друга передавать их от одного лица к другому. Сегодня вещь часто передается как приложение к приобретённому праву (полной собственности, пользования, прослушивания). Таким образом, товаром можно назвать передаваемое другому лицу право на что-либо, которое может сопровождаться передачей вещей.
Пространство товаров — множество всех возможных наборов благ (товаров), потенциально доступных потребителям – ключевое понятие мат. экономики, которое мы подробнее рассмотрим в данной курсовой.
1.Векторы
Вектором называется упорядоченный набор чисел. Так, (1, 3, 7) есть вектор. Обозначим его кратко P тогда Р = (1, 3, 7). Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в наборе называются компонентами, вектора. Так, в векторе Р число 1 есть 1-я компонента, число 3 - 2-я, число 7 - 3-я компонента. Число компонент вектора называется его размерностью. Следовательно P - трехмерный вектор.
Пример 1. Пусть завод производит мужские, женские и детские велосипеды. Тогда объем его производства V за год можно записать как вектор (M, L, D), где М – объем производства за год мужских велосипедов, L – женских, D – детских. Например пусть объем производства в 1996 году был V96 = (1000, 800, 4000). Предположим, что план производства на 1997 год на 10% больше объема производства в 1996 году, тогда этот план есть вектор V97 = (1100, 880, 4400). Пусть торговая фирма «Велосипеды» покупает половину всей продукции завода, тогда в 1996 году она купила W = (500, 400, 2000). Предположим, что в стране всего 3 велосипедных завода, объемы производства которых в 1996 году были Q1 = (1000, 800, 4000), Q2 = (1000, 600, 2000), Q3 = (2000, 1600, 8000). Тогда все три завода произвели Q = (4000, 3000, 14000), т.е. 4000 мужских, 3000 женских, 14000 детских велосипедов. Можно также отметить, что Q3=2Q1, т.е. третий завод произвел в 2 раза больше велосипедов каждого вида, чем первый завод.
Приведенные выше векторы V96, V97, W, Q1, Q2, Q3 и т.д. – это примеры конкретных векторов. Произвольный трехмерный вектор можно обозначить (x1, x2, x3) или кратко X. В векторе Х компонента х1 есть первая компонента, х2 – вторая, х3 – третья. Произвольный четырехмерный вектор можно обозначить (х1, х2, х3, х4), и если n – какое-нибудь натуральное число, то (х1, … ,хn) обозначает произвольный n-мерный вектор.
Векторы бывают двух видов – векторы-строки и векторы-столбцы. Все вышеприведенные были векторы-строки. Векторы-строки записываются в виде упорядоченной строки, а векторы-столбцы в виде упорядоченного столбца (нумерации компонент вектора-столбца идет сверху). По типографским соображениям удобнее иметь дело с векторами-строками. Однако иногда необходимо использовать векторы-столбцы. Векторы широко используются во всех областях науки, в том числе в экономической. Многие обозначения при использовании векторов очень компактны, при этом не теряют в наглядности и содержательности.
Примечание 1. Вообще-то в математике понятие «вектор» многозначно. Уже в школе в курсе физики вектор понимался как направленный отрезок с фиксированным началом (точкой приложения силы). В геометрии иногда под вектором понимается преобразование плоскости или пространства специального вида (перемещение). В дальнейшем такое понимание вектора иногда будет использоваться.
Примечание 2. В математике понятие «вектор» может обозначать упорядоченный набор не только чисел, но и любых объектов, т.е. когда 1-я компонента вектора обозначает (или есть) элемент некоторого множества M1, 2-я компонента — элемент множества М2 и т.д. Это более общее понятие вектора.
В примере 1 мы уже умножали вектор на число. Действительно, Q3 = 2Q1,. В этом же примере мы сложили три вектора Q1 + Q2 + Q3 и получили их сумму Q. Действия с векторами очень естественны и весьма напоминают обычные действия с числами. Можно сказать, что действия с векторами являются естественным распространением действий над числами на более широкую область.
Любой вектор можно умножить на любое число. Для этого каждая компонента вектора умножается на это число и эти произведения образуют вектор-результат.
Умножим вектор U = (2, 3) на 3, Получим вектор (6, 9). Егоестественно обозначить 3U.
Умножим вектор Q1 - (1000, 800, 4000) на 2. Получим вектор (2000, 1600, 8000), равный Q3. Итак, Q3 = 2Q1, что и послужило нам основанием сказать выше, что 3-й велосипедный завод произвел в 2 раза больше велосипедов, чем 1-й, (Иногда, впрочем, при умножении вектора содержательный смысл вектора-результата теряется. Например, при умножении вектора Q1, на 1/3 в векторе-результате 2-я компонента не целое число и ее нельзя трактовать как число велосипедов.)
Любые два вектора одной размерности можно сложить. Для этого складываются первые компоненты, затем вторые и т.д. Эти суммы образуют вектор-результат.
Сложим вектор Q1 = (1000, 800, 4000) и Q3 = (2000, 1600, 8000).
Получим вектор К = (3000, 2400, 12000). Проверьте, что К = 3Q1.
Однако векторы разной размерности складывать нельзя.
Операции умножения вектора на число и сложения векторов обладают следующими свойствами:
а) сложение векторов ассоциативно, т.е. (Х+ Y) + Z = Х + (Y+Z) — это свойство позволяет складывать любое конечное число векторов (так, в примере 1 была найдена сумма трех векторов Q1 + Q2 + Q3
б) сложение векторов распределительно по отношению к умножению на число, т.е. λ (Х + Y) = λ X+ λY.
Не будем описывать некоторые дальнейшие свойства операций над векторами, скажем лишь еще раз о сходстве операций над векторами с обычными операциями над числами.
Но есть и некоторые отличия операций над векторами от операций над числами. Так, для любых чисел а и b ≠ 0 можно узнать, «во сколько раз» a больше b, т.е. найти а/b. Но для двух векторов это сделать, в общем, нельзя. Например, для Е = (7, 1) и N = (1, 1) нет такого λ, чтобы Е = λN.
Два вектора называются равными, если они равны покомпонентно, т.е. если равны их первые компоненты, вторые и т.д. Итак, если Х =(x1, … , xn), Y =(y1, … , yn), то Х = Y если и только если хn = yn. Как видно из определения равенства, лишь для векторов одинаковой размерности можно говорить о равенстве или неравенстве этих векторов. Для векторов разной размерности говорить об их равенстве бессмысленно.
Описанные действия с векторами были иллюстрированы на примере векторов-строк. Действия с векторами-столбцами точно такие же, в результате получаются, конечно, также векторы-столбцы. Векторы-строки и векторы-столбцы одинаковой размерности связаны операцией транспонирования. Она превращает вектор-строку в вектор-столбец и, наоборот, вектор-столбец в вектор-строку. Эта операция обозначается верхним индексом т. Пусть U= (2, 3), тогда UT = (23). Легко понять, что операция транспонирования, осуществленная последовательно дважды, дает исходный вектор: (XT)T = X, каков бы ни был вектор X — строка или столбец.
Скалярное произведение векторов. Пусть Х =(x1, … , xn), Y =(y1, … , yn) — векторы одинаковой размерности, тогда число x1y1 + … + xnyn называется скалярным произведением векторовX и Y и обозначается X·Y. Приведем без доказательств (они очень просты) свойства скалярного произведения:
а) Х· = Y·X;
б) Х· (Y+ Z) = Х·У + Х·Z
в) Х· (λY) = λ (Х·Y) для любых векторов X, Y и любого числа λ.
2.Линейные пространства
Линейная зависимость и независимость векторов. Пусть Rn обозначает множество всех n-мерных векторов-строк. Заметим, что это не просто множество — Rn несет определенную структуру. Именно любой вектор Х∈ Rn можно умножить на любое число λX и результат — вектор λX есть снова элемент множества Rn. Сумма двух и даже любого конечного числа векторов из Rn снова есть элемент Rn. Кроме того, операции умножения вектора на число и сложения векторов связаны друг с другом определенными соотношениями (см. п. 2).
Во множестве Rn есть уникальный вектор 0 = (0, ..., 0). Его роль вполне аналогична роли числа 0 во множестве чисел. Так, 0·X = 0 и X+ 0 = Xдля любого Х∈ Rn.
Вектор X, удовлетворяющий неравенству X > 0, называется неотрицательным. Неотрицательный вектор — это в точности тот, все компоненты которого неотрицательны. Вектор (2, 3) является неотрицательным, а вектор (-2, 4) — нет, ибо его 1-я компонента не является неотрицательным числом.