Пространство товаров. Цены (стр. 2 из 3)
По всем этим причинам Rn называют n-мерным числовым (или арифметическим) линейным пространством. Слово «числовое» в названии линейного пространства подчеркивает, что элементами такого пространства являются векторы, компоненты которых есть числа.
Вектор В = (b1, …, bm) называется линейной комбинацией векторов A = (a11, …, am1), …, An = (a1n, …, amn) той же размерности, если найдутся числа х1, ..., хn такие, что В = x1A1 + ... + хnАn. Следовательно, чтобы узнать это, надо решить систему из m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными:
Узнаем, например, является ли вектор F = (1, 6) линейной комбинацией векторов H1 = (1, 2), H2 = (0, 2). Получаем совсем простую СЛАУ:
Ее решение: х1 = 1, х2 = 2. Следовательно, F = H1 + 2H2.
Система векторов называется линейно зависимой если какой-то вектор системы есть линейная комбинация остальных векторов системы, и линейно независимой в противном случае, т.е. когда никакой вектор системы не является линейной комбинацией остальных векторов системы.
Например, система из трех вышеприведенных векторов F1, H1, H2 линейно зависима, ибо F = H1 + 2H2
Пусть A— какая-нибудь система векторов, тогда ее подсистема ε называется базисом этой системы, если ε линейно независима, и любой вектор системы A есть линейная комбинация векторов из ε.
Пусть ε = (E1, …, En). Если B∈A, то B = λ1E1 +... + λnEnпри некоторых λ1, …, λn
Линейная комбинация λ1E1 +... + λnEn называется разложением вектора В по векторам E1... En, а числа λ1, ..., λnназываются коэффициентами этого разложения.
Эти коэффициенты называются координатами вектора в базисе ε.
3. Пространство товаров, цены
Под товаром понимается некоторое благо или услуга, поступившие в продажу в определенное время и в определенном месте. Будем считать, что имеется n различных товаров, количество i-го товара обозначается хi тогда некоторый набор товаров обозначается X = = (x1,…, хn). Как известно, упорядоченный набор n чисел называется n-мерным вектором, так что X есть n-мерный вектор. Вообще-то набор товаров надо считать вектором-столбцом, но по соображениям экономии места будем изображать его вектором-строкой. Будем рассматривать, как правило, только неотрицательные количества товаров, так что хi≥ 0 для любого i = 1, … ,n или Х≥ 0.
Множество всех наборов товаров называется пространством товаровС. Это множество называется пространством потому, что в нем можно сложить любые два набора и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число. Возможность умножения набора товаров на любое неотрицательное число отражает предположение о безграничной делимости и умножении товаров (т.е. товары устроены наподобие сахарного песка, а не авианосцев). Набор товаров можно трактовать, как корзину, в которой лежат эти товары в соответствующем количестве. Аналогично интерпретируются и операции с наборами товаров.
Решение потребителя о покупке определенного набора товаров математически - выбор конкретной точки в пространстве C.
Пример 2. Пространство товаров С представляет собой часть арифметического линейного пространства Rn — так называемый неотрицательный октант, С = {X ∈ Rn : X≥ 0}. Поэтому при работе с пространством товаров можно использовать структуру линейного пространства (соблюдая некоторые естественные ограничения). Так, для любого X Є С подмножество LX = {λX: 0 ≤ λ} называется лучом, проходящим через X; для любых двух точек X, Y любая точка αХ + βY∈ С называется их линейной комбинацией, а множество [X, Y] = {αХ + βY: α, β ≥ 0, α + β = 1} называется отрезком, соединяющим X и Y. Подмножество W ≤ С является выпуклым, если вместе с любыми X,Y ∈ W весь соединяющий их отрезок лежит в W.
Предполагается, что каждый товар имеет цену. Все цены строго положительны. Пусть цена единицы i-го товара есть рi, тогда Р = (pi,…,рn) есть вектор-строка цен.
Для набора товаров X и вектора цен Р их скалярное произведение РХ = р1x1 + ... + рnxnесть число, называемое ценой набора X или его стоимостью, и будет обозначаться С(Х).
Пример 3. Отношение равной стоимости разбивает все пространство товаров на непересекающиеся классы (для случая двух товаров см. рис. 1). Пусть вектор цен есть (2, 3), тогда класс наборов стоимости 30 есть отрезок АВ, а стоимости 60 есть отрезок MN. Стрелка показывает направление увеличения стоимости наборов. В качестве этой стрелки можно взять вектор цен.
С обыденной точки зрения каждый товар должен быть желателен для участников экономики и должен обладать определенной потребительской полезностью. Это свойство товаров выражается в некоторой мере через цены на них.
Пусть вектор цен есть Р. Зафиксируем какую-нибудь денежную сумму Q и назовем ее доходом.
Множество наборов товаров стоимости не более Q при данных ценах Р называется бюджетным множеством В; множество наборов товаров стоимости ровно Q называется границей G этого бюджетного множества.
Бюджетное множество и его граница зависят от цен и дохода, так что точнее их было бы обозначать В(Р, Q) и G(P, Q).
Бюджетное множество и его границу можно определить так:
с помощью обычных неравенств и равенств —
В(Р, Q) = {(x1, ..., хn): х1 …, хn ≥ 0, p1x1 + ... + pnxn ≤Q)
G(P, Q) = {(x1, ..., хn): х1 …, хn ≥ 0, p1x1 + ... + pnxn = Q);
с помощью векторных неравенств и равенств —
В(Р, Q) = {Х:Х> О, РХ< 0 , G{P, Q) = {Х:Х> О, РХ= Q).
Для случая двух товаров см. рис. 1.
При Р = (2, 3) и Q = 30 бюджетное множество В(Р, Q) есть треугольник ОАВ, точка A имеет координату Q/p1 = 15, точка В — Q/p2 = 30. Отрезок АВ есть граница бюджетного множества, отрезок АВ перпендикулярен вектору цен. При увеличении Q граница бюджетного множества движется в направлении вектора цен. При изменении цен об изменении бюджетного множества можно судить по движению точек А(р1) = Q/p1, B(p2) = Q/p2.
Бюджетное множество выпукло, ограниченно и замкнуто.
Граница бюджетного множества также есть выпуклое, ограниченное и замкнутое множество.
4. Пространство товаров и система предпочтений
Одним из основных элементов — участников экономики — является домашнее хозяйство, определяемое как некоторая группа индивидуумов, выступающая как единое целое, распределяющая свой доход на покупку и потребление товаров и услуг. В общем, участник экономики, рассматриваемый с этой точки зрения, называется потребителем. Проблема рационального поведения потребителя заключается в решении вопроса о том, какие количества товаров или услуг он хочет и может приобрести при заданных ценах и его доходе.
Специально отметим, что существуют разные точки зрения на роль индивидов-потребителей. В неоклассической экономической теории эта роль является основной, определяющей. Вся остальная экономика вырастает из желаний и потребностей такого индивида.
Выше была сформулирована аксиома потребителя, полностью описывающая его поведение в вопросах потребления. Эта аксиома чрезвычайно упрощает анализ поведения потребителя.
Выбор потребителем некоторого набора товаров во многом зависит от его вкусов, желаний.
Запись y ≤ x означает, что потребитель предпочитает набор x набору y или не делает между ними различий, запись x ~ y – оба набора обладают одинаковой степенью предпочтения.
Потребуем выполнение следующих аксиом:
1) x ≥ x, для любого x (рефлексивность);
2) если x ≥ y, y ≥ z, то х ≥ z (транзитивность);
3) для любой пары x, y либо x ≥ y, либо y ≥ x, либо и то и другое.
Кроме аксиом 1 – 3 на отношение предпочтения накладывают ряд других ограничений, главными из которых являются непрерывность и ненасыщаемость.
Отношение предпочтения f называется непрерывным на множестве Х, если множество { (x,y) | x ≥ y } является открытым подмножеством декартова произведения X × X, т.е. если набор товаров x0 строго предпочтительнее набора y0, то при малом изменении каждого из этих наборов отношение строгого предпочтения сохраняется.
Точкой насыщения называется наиболее предпочтительный набор х ∈ Х, т.е. такой, что x ≥ y для всех х ∈ Х. Если Х не содержит точки насыщения, то говорят, что имеет место ненасыщаемости, то х > у (ненасыщаемость: больший набор всегда предпочтительнее меньшего).
На непрерывном множестве потребительских наборов можно задать числовую функцию u(x).
Функция u(x), определенная на множестве Х, называется функцией полезности, соответствующей отношению предпочтения f, если u(х) ≥ u(у) тогда и только тогда, когда xfy.
Для каждого потребителя такое представление многовариантно.
Математики называют отношение рефлексивным, если X < X для всякого X; симметричным, если X < Y влечет, что и Y < X; транзитивным, если X < Y и Y < Z влечет X < Z; совершенным (или полным), если для любых двух наборов X, Y либо X <Y, либо Y <Х.
Аксиома.
1) Отношение слабого предпочтения рефлексивно, транзитивно и совершенно;
2) Отношение равноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно;
3) Отношение предпочтения транзитивно;
4) Для любого X ∈ С множество предпочтительности РX= {Y:X < Y) выпукло;
5) Каждый товар желателен для индивида: если X ≤ Y, то и X ≤ Y, а если к тому же Х ≠ Y (т.е. хi <yi для некоторого i), то Х< Y.