Рис. 1 – «Приход клиентов в банк»
Приход клиентов в банк описывается пуассоновским потоком с интенсивностью r, который определяется следующим образом:
(1.1)где: r – интенсивность потока;
k – время между приходами клиентов.
Параметр k может принимать дискретные значения от нуля до бесконечности. Причем k=0 означает приход сразу двух клиентов.
Предположим, в банке имеется N касс. Математическое ожидание обслуживания клиентов в банке обозначим
. Обслуживание клиентов у касс происходит по экспоненциальному закону распределения случайной величины 
( - время обслуживания клиентов) с плотностью распределения 
: 
(1.2)Примечание:
Если в банке есть свободные кассы, то клиент становится на обслуживание к ближайшей из них (т.е. к кассе с минимальным номером). Если все кассы заняты – клиент становится в очередь к той кассе, где очередь минимальна. Если очереди одинаковы, то клиент становится в любую из них.
Для решения поставленной задачи необходимо разработать алгоритм имитационного моделирования работы банка за восьмичасовой рабочий день. А также определить время простоя касс и количество клиентов в очереди не обслуженных на момент закрытия банка.
Имитационное моделирование на ЭВМ процесса функционирования автоматизированной системы управления работой банка позволяет получить численное решение поставленной задачи. Суть рассматриваемого приближенного метода решения состоит в проведении ряда случайных испытаний вероятностной модели исследуемой системы и получении совокупности реализаций случайных процессов изменения состояния.
В результате многократной реализации случайных процессов определяются оценки вероятности тех или иных событий и средние значения случайных величин. Имитационное моделирование связано с необходимостью воспроизведения случайных событий и величин, распределенных по произвольному закону. Существует несколько способов генерации случайных величин и формирования их распределений. Модель системы управления работой банка включает в себя:
· Приход клиентов в банк
;· Время обслуживания клиентов у касс
.По условию поставленной задачи приход клиентов в банк описывается пуассоновским потоком с интенсивностью r. Для лучшего понимания сути распределения Пуассона необходимо знать основные определения:
Интенсивность потока – среднее число событий, которое появляется в единицу времени.
Поток – последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
Закон распределения Пуассона выражается формулой (1.1).
Будем моделировать интервал времени между двумя последовательно зашедшими в банк клиентами методом Монте-Карло с датчиком случайных чисел на интервале [0 - 1].
Совокупность
независимых случайных событий, образующих полную группу, характеризуется вероятностями появления каждого из событий 
, причем 
. Для моделирования этой совокупности случайных событий используется генератор случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0 - 1]. При делении отрезка [0 - 1] на n частей, численно равных , возникновение события 
устанавливается путем определения нахождения случайного числа Х в пределах интервала при проверке условия 
, где 
изменяется от нуля до n. При 
имеем 
; при 
имеем 
и так далее. При подстановке в формулу (1.1) получим: 
; 
; 
и так далее.Причем
(мин.) – максимальное количество ожидания клиентов.Так как опыт проводится многократно, то, очевидно, что частота попадания случайных чисел на каждый из отрезков, определяющихся их длиной, и соответствует полученным вероятностям.
Моделирование времени обслуживания клиентов у касс происходит по экспоненциальному закону распределения, формула которого представлена выше (формула (1.2)).
Время обслуживания клиентов
, как и любая иная случайная величина, описывается функцией распределения 
, определяемая как вероятность 
случайного события, заключающегося в том, что время обслуживания клиентов меньше некоторого заданного времени 
: 
Эта вероятность рассматривается как функция
во всем диапазоне возможных значений величины . Функция распределения любой случайной величины является неубывающей функцией времени . Примерный вид функции дан на рисунке 3.
Рис. 3 – «Функция распределения экспоненциального закона»
Так как значения
не могут быть отрицательными, то 
. При 
величина стремится к единице. Таким образом, функция распределения времени обслуживания клиентов:
