Понятие и классификация систем массового обслуживания (стр. 3 из 7)

СМО могут также различаться по дисциплине обслуживания.

Если в СМО нет приоритета, то заявки отбираются из очереди в канал по различным правилам.

· Первым пришел – первым обслужен (FCFS – First Came – First Served)

· Последним пришел – первым обслужен (LCFS – Last Came – First Served)

· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью обслуживания (SPT/SJE)

· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью дообслуживания (SRPT)

· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью обслуживания (SEPT)

· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью дообслуживания (SERPT)

Приоритеты бывают двух типов – абсолютный и относительный.

Если требование в процессе обслуживания может быть удалено из канала и возвращено в очередь (либо вовсе покидает СМО) при поступлении требования с более высоким приоритетом, то система работает с абсолютным приоритетом. Если обслуживание любого требования, находящегося в канале не может быть прервано, то СМО работает с относительным приоритетом. Существуют также приоритеты, осуществляемые с помощью конкретного правила или набора правил. Примером может служить приоритет, изменяющийся с течением времени.

СМО описываются некоторыми параметрами, которые характеризуют эффективность работы системы.

– число каналов в СМО;

– интенсивность поступления в СМО заявок;

– интенсивность обслуживания заявок;

– коэффициент загрузки СМО;

– число мест в очереди;

– вероятность отказа в обслуживании поступившей в СМО заявки;

– вероятность обслуживания поступившей в СМО заявки (относительная пропускная способность СМО);

При этом:

(8)

А – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способность СМО)

(9)

– среднее число заявок, находящихся в СМО

– среднее число каналов в СМО, занятых обслуживанием заявок. В тоже время это – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО за единицу времени. Величина определяется как математическое ожидание случайного числа занятых обслуживанием n каналов.

, (10)

где

– вероятность нахождения системы в S_k состоянии.

– коэффициент занятости каналов

– среднее время ожидания заявки в очереди

– интенсивность ухода заявок из очереди

– среднее число заявок в очереди. Определяется как математическое ожидание случайной величины m – числа заявок, состоящих в очереди

(11)

Здесь

– вероятность нахождения в очереди i заявок;

– среднее время пребывания заявки с СМО

– среднее время пребывания заявки в очереди

Для открытых СМО справедливы соотношения:

(12)

(13)

Эти соотношения называются формулами Литтла и применяются только для стационарных потоков заявок и обслуживания.

Рассмотрим некоторые конкретные типы СМО. При этом будет предполагаться, что плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными событиями в СМО имеет показательное распределение (7), а все потоки являются простейшими.

5. Основные типы открытых систем массового обслуживания

5.1 Одноканальная система массового обслуживания с отказами

Размеченный граф состояний одноканальной СМО представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Граф состояний одноканальной СМО

Здесь

и – интенсивность потока заявок и выполнения заявок соответственно. Состояние системы S_o обозначает, что канал свободен, а S₁ – что канал занят обслуживанием заявки.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для такой СМО имеет вид:

где p_o(t) и p₁(t) – вероятности нахождения СМО в состояниях So и S1 соответственно. Уравнения для финальных вероятностей p_o и p₁ получим, приравнивая нулю производные в первых двух уравнениях системы. В результате получим:

(14)

(15)

Вероятность p₀ по своему смыслу есть вероятность обслуживания заявки p_обс, т. к. канал является свободным, а вероятность р₁ по своему смыслу является вероятностью отказа в обслуживании поступающей в СМО заявки р_отк, т. к. канал занят обслуживанием предыдущей заявки.

5.2 Многоканальная система массового обслуживания с отказами

Пусть СМО содержит n каналов, интенсивность входящего потока заявок равна

, а интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна . Размеченный граф состояний системы изображён на рисунке 4.

Рисунок 4 – Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Состояние S₀ означает, что все каналы свободны, состояние S_k (k = 1, n) означает, что обслуживанием заявок заняты k каналов. Переход из одного состояния в другое соседнее правое происходит скачкообразно под воздействием входящего потока заявок интенсивностью

независимо от числа работающих каналов (верхние стрелки). Для перехода системы из одного состояния в соседнее левое неважно, какой именно канал освободится. Величина характеризует интенсивность обслуживания заявок при работе в СМО k каналов (нижние стрелки).

Сравнивая графы на рис. 3 и на рис. 5 легко увидеть, что многоканальная СМО с отказами является частным случаем системы рождения и гибели, если в последней принять

и

(16)

При этом для нахождения финальных вероятностей можно воспользоваться формулами (4) и (5). С учётом (16) получим из них:

(17)

(18)

Формулы (17) и (18) называются формулами Эрланга – основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании заявки р_отк равна вероятности того, что все каналы заняты, т.е. система находится в состоянии S_n. Таким образом,

(19)

Относительную пропускную способность СМО найдём из (8) и (19):

(20)

Абсолютную пропускную способность найдём из (9) и (20):

Среднее число занятых обслуживанием каналов можно найти по формуле (10), однако сделаем это проще. Так как каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем

заявок, то можно найти по формуле: