Побудова лінійної регресійної моделі (стр. 4 из 4)

Рівняння моделі лінійної регресії має вигляд: у = а+bх.

Знайдемо коефіцієнти а і b:

Таким чином, рівняння моделі лінійної регресії має вигляд:

у=0,3527+2,9988×х

Коефіцієнт кореляції характеризує ступень лінійного статистичного зв’язку:

Тобто зв'язок між випуском продукції та витратами матеріалів на одиницю дуже щільний.

Маємо визначені середні значення величин - X_cp = 7,4429, Y_cp = 22,5214, слідові можна визначити середній коефіцієнт еластичності для цієї моделі:

A = b*X_cp/Y_cp = 2,9988*7,4429/22,5214 = 0,991,

тобто при зростанні показника

(випуск продукції) на 1% показник Y (витрати матеріалів на одиницю продукції) зростає на 0,99%.

Можна зробити попередні висновки:

В результаті розрахунків отримано модель у^{^}= 0,3527+2,9988×х. Аналізуючи параметри моделі можливо зробити наступні висновки, що оскільки коефіцієнт регресії додатний a₁=2,9988, то це свідчить про те, що напрямок зв’язку між X і Y прямий (це підтверджує й графік моделі, рис.1), тобто при зростанні Х значення Y теж будуть збільшуватись. При збільшенні Х на 1 значення Y зросте на 0,99.

Рис.1.

Коефіцієнт еластичності свідчить, на скільки відсотків гранично змінюється залежна змінна, якщо відповідна незалежна змінна змінюється на 1%, а інші - постійні.

Коефіцієнт детермінації визначає значимість лінійного статистичного зв’язку між фактором та показником:

, чи

R² = 0,993² = 0,986

По вихідним даним к₁=к-1=2-1=1 і к₂=п-к=7-2=5 знаходимо критичне значення коефіцієнта детермінації: R²_кр=0,569.

Так як R²>R²_кр, то можна зробити висновок, що зв'язок між випуском продукції та витратами матеріалів на одиницю статистично значимий з імовірністю 0,95.

Визначимо спостережуване значення критерію Фишера

F = R²*(n - 2)/(1 – R²) = 0,986*(5)/(1 – 0,986) = 352,14.

Табличне значення критерію при надійності Р=0,95 (a = 0,05) і степенях свободи k₁ = 1, k₂ = 7 – 2 = 5 дорівнює 5,59, оскільки спостережуване значення більше критичного, то лінійна модель є адекватною.

Використовуючи t-статистику, з надійністю Р=0,95 оцінимо значущість коефіцієнта кореляції. Обчислимо спостережуване значення t-статистики

t = |R|*√(n - 2)/(1 – R²) = 0,993*√(7 - 2)/(1 – 0,986) = 18,766.

Табличне значення

-критерію при і кількості ступенів свободи n – 2 = 5, t = 2,57. Оскільки розрахункове значення -критерію більше за табличне, то лінійний коефіцієнт кореляції є статистично значущим.

Стандартні похибки оцінок параметрів з урахуванням дисперсії залишків:

Обчислимо t-статистики:

t₁ = b/ S(b) = 2,9988/0,1454 = 20,623; t₂ = a/ S(a) = 0,3527/2,868 = 0,123.

Оскільки отримані значення більше табличного тільки для коефіцієнту b, то параметр «випуск продукції»є значимим з надійністю Р=0,95.

Висновки

1.В результаті розрахунків отримано модель

= 55,384 + 0,9617 ×Х. у=0,3527+2,9988×х Аналізуючи параметри моделі можливо зробити наступні висновки, що оскільки коефіцієнт регресії додатний a₁=2,9988, то це свідчить про те, що напрямок зв’язку між X і Y прямий (це підтверджує й графік моделі, рис.1), тобто при зростанні Х значення Y теж будуть збільшуватись. При збільшенні Х на 1 значення Y зросте на 0,99.

2. Лінійний коефіцієнт кореляції

0,993 і коефіцієнт детермінації R²=0,986. Значення коефіцієнту кореляції свідчить про те, що між факторами існує дуже сильний прямий зв’язок. Значення коефіцієнту детермінації показує, що на 98,6% варіація Y (витрати матеріалу на одиницю) залежить від X (випуск продукції) і на 1,4% від факторів, які не увійшли у модель.

3. Розрахунки за критерієм Фішера F=352,14 і F_кр.=5,59 підтвердили адекватність моделі даним задачі.

4. За критерієм Стьюдента, була проведена перевірка значимості параметрів моделі з надійністю 95%. Оскільки отримані значення більше табличного тільки для коефіцієнту b, то параметр «випуск продукції»є значимим з надійністю Р=0,95, то можна зробити висновок, що отриманий параметр випуск продукції є значимими і для генеральної сукупності цей параметри рівняння лінії регресії відрізняється від 0.

5. За критерієм Стьюдента була проведена перевірка значимості лінійного коефіцієнта кореляції з надійністю 95%. Оскільки значення t_r – статистики більші ніж критичне значення, то можна зробити висновок, що в генеральній сукупності між факторами існує зв’язок, тобто ρ≠0 і коефіцієнт регресії статистично значущий, слідові модель є адекватною.

Література

1. Абакумов С.А. Економетрика К.: 2004

2. Висловский В.Р. Эконометрия М.: 2005

3. Колесников Н.А. Математические методы в экономике М.: 2006

4. Породін М.О. Економетрика Харків 2007