Підвищення ефективності діяльності ПриватБанку на основі теорії синергетики (стр. 6 из 24)

Таким чином, синергетика виявляється досить продуктивною науковою концепцією. Її предметом виступають процеси самоорганізації - спонтанного структурогенеза. Вона включила в себе нові пріоритети сучасної картини світу:

ª концепцію нестабільного нерівноважного світу;

ª феномен невизначеності і наявність великої кількості альтернатив розвитку;

ª ідею виникнення порядку і хаосу.

Спроби осмислення понять порядку і хаосу, створення теорії спрямованого безладдя спираються на великі класифікації і типології хаосу. Останній може бути простим, складним, детермінованим і т.д. [17].

Інтуїтивно визначають хаос від противного: хаос панує там, де немає ніякого порядку, немає структури [11].

«...Порядок же має на увазі існування в навколишньому світі не тільки «законів», але і чогось ще: обмежень, інваріантостей, сталості якихось співвідношень, тієї або іншої регулярності...Стираючий усякі розходження, що знеособлює підхід старого детермінізму змінився всіляко підкреслюючи розходження еволюційним підходом, заснованим на використанні детермінацій» [21].

Найпростіший вид хаосу – «маломірний» - зустрічається в науці і техніку і піддається описові за допомогою детермінованих систем. Він відрізняється складним тимчасовим, але досить простим просторовою поведінкою. «Багатомірний» хаос супроводжує нерегулярне поводження нелінійних середовищ. У турбулентному режимі складними, що не піддаються координації будуть і тимчасові, і просторові параметри. Під поняттям «детермінований хаос» мають на увазі поведінку нелінійних систем, що описується рівняннями без стохастичних джерел, з регулярними початковими і граничними умовами.

Можна виділити ряд причин і обставин, у результаті яких відбувається втрата стійкості і перехід до хаосу:

- шуми;

- зовнішні перешкоди;

- фактори, що обурюють.

Джерело хаосомности іноді зв'язують з наявністю різноманіття ступенів волі, що може привести до реалізації абсолютно випадкових послідовностей. До обставин, що обумовлюють хаосогенность, відноситься принципова нестійкість руху, коли два близьких стани можуть породжувати різні траєкторії розвитку, чуйно реагуючи на стохастику зовнішніх впливів.

Сучасний рівень досліджень приводить до істотних доповнень традиційних поглядів на процеси хаотизаціі. У постнеокласичну картину світу хаос увійшов не як джерело деструкції, а як стан, похідний від первинної нестійкості матеріальних взаємодій, що може з'явитися причиною спонтанного структурогенеза. У світлі останніх теоретичних розробок хаос з'являється не просто як безформна маса, але і як понад складно організована послідовність, логіка якої становить значний інтерес. Учені впритул підійшли до розробки теорії спрямованого безладдя, визначаючи хаос як нерегулярний рух з неперіодично повторюваними, хитливими траєкторіями, де для кореляції просторових і тимчасових параметрів характерно випадковий розподіл [17].

Процеси, що вивчаються в синергетиці, описуються нелінійними рівняннями. Макроскопічна система складається з величезної кількості взаємодіючих між собою частинок (електронів і ядер). Взаємодія між частинками відбувається через поля, і тому для визначення стану системи потрібно розв’язати систему рівнянь, що описують динаміку частинок і рівняння для полів (електромагнітних, гравітаційних та інших). Для макроскопічної системи, що складається з 10²³ частинок, виконати таку задачу неможливо. Крім того, у більшості випадків розв’язок такої задачі навіть непотрібний, оскільки при експериментальному визначенні величин, що характеризують систему, проводиться усереднення з величезною кількістю частинок. Тому для характеристики стану системи вводять макроскопічні параметри, значення яких формується різноманітними процесами, що відбуваються на макроскопічному рівні. Основні рівняння для макроскопічних змінних одержують різними шляхами:

- з мікроскопічних рівнянь після усереднення по мікроскопічних змінних і нехтування неістотними для даного явища процесами;

- з феноменологічних міркувань, постулюючи співвідношення між величинами;

- одержуючи їх із законів збереження і вводячи параметри, значення яких отримуємо з досліду.

У загальному випадку ці рівняння є нелінійними і описують процеси нестійкості та явища самоорганізації в нерівноважних системах. Проте опис системи, що складається з величезної кількості частинок, обмеженим числом змінних є наближення. Вийти за рамки цього наближення можна, враховуючи флуктуації. Макроскопічні параметри, що визначають стан системи, називають динамічними змінними.

Отже, стан системи описується набором Nдинамічних змінних, які визначаються з основних законів досліджуваної області явищ. Позначимо i-ту динамічну змінну в момент часу t через X_i(t), де (i=1,2,..., N).Величина X_i(t) задовольняє системі диференційних рівнянь

(1.15)

де i=1,2,...,N.

У цьому співвідношенні f_i(X₁, X₂,…X_N,

,t) у загальному випадку – деяка нелінійна функція аргументів (вигляд функції визначається законами досліджуваної області). Величина визначає сукупність параметрів, що описують внутрішні і зовнішні умови [24].

Важливою характеристикою розв’язків рівнянь є їх стійкість. Це зумовлено тим, що внаслідок дії різноманітних процесів, не врахованих у рівняннях (1.15), які часто мають випадковий характер, система може бути переведена з однієї фазової траєкторії в іншу.

Розглянемо деяку траєкторію X_i(t), яка є розв’язком системи (1.15). За теоремою Ляпунова розв’язок називається стійким, якщо для довільного моменту часу t для будь якого значення

>0 можна знайти таке значення >0, що для будь-якого розв’язку , який задовольняє умові:

(1.16)

має місце

(1.17)

Розв’язок, який задовольняє умові

(1.18)

при t

називається асимптотично стійким.

Умови (1.16), (1.17) означають, що для стійкого руху фазові траєкторії не розбігаються. Умова (1.18) означає, що всі траєкторії асимптотично наближаються до однієї стійкої траєкторії [24].

Для систем з одним ступенем вільності вихідну систему рівнянь запишемо в одне рівняння першого порядку:

(1.19)

Фазовим простором тут є пряма лінія. Особливі точки визначаються так:

(1.20)

Приклад нелінійної функції і положення особливих точок для системи з однією динамічною змінною наведено на рис.1.2.

Рисунок 1.2- Особливі точки для системи з однією змінною

Згідно з теоремою Ляпунова для даного випадку розв’язок є стійким, якщо

(точки Х⁽¹⁾ і Х⁽³⁾ на рис. 1.2), і нестійким, якщо (точки Х⁽²⁾ і Х⁽⁴⁾ на рис. 1.2). В точці Х⁽⁵⁾ , у цьому разі питання про стійкість потребує окремого дослідження [24].

Проаналізуємо залежність розв’язку від зовнішнього параметра

. Якщо зі зміною параметра функція змінює знак, то змінюється також характер стійкості розв’язку поблизу особливої точки : стійка точка може стати нестійкою, і навпаки. Розглянемо на площині (Х, ) криву , яка описує положення особливої точки від параметра (рис. 1.3).

Рисунок 1.3 - Залежність положення особливої точки від зовнішнього параметра

Переріз кривої

прямою =constвизначає число і положення особливих точок при заданому значенні параметра .Характер стійкості визначається значенням похідної . З рисунка 1.3 випливає, що в області 1( ), а в області 2 ( ). Тому можна визначити знак приросту функції зі зміною Х (тобто похідної) в області , а також характер стійкості. В області жирної лінії на рисунку 1.3 особливі точки стійкі, а в області тонкої - нестійкі. З рисунка 1.3 видно, що в областях і існує одна особлива точка, в області система має три особливі точки: дві стійкі і одна нестійка. Зі зміною параметра в точках і відбувається різка зміна стану системи. Так, зі збільшенням параметра від значень стаціонарна точка рухається вдовж нижньої кривої. При досягненні точки система стає нестійкою і з подальшим збільшенням стаціонарна точка, що характеризує стан системи, стрибкоподібно переходить на верхню криву. Отже, з плавною зміною раптово змінюється положення стійкої стаціонарної точки (від Х⁽¹⁾ до Х⁽²⁾). Аналогічно зі зміщенням при точка рухається вдовж верхньої кривої (рисунок 1.3) і при відбувається різка зміна стану системи від значення Х⁽⁴⁾ до Х⁽³⁾. Значення параметра , за яким різко змінюється число і характер особливих точок, називається біфуркаційним. Для прикладу, наведеному на рисунку 1.3, біфуркаційними є значення параметрів і .