Парная и множественная регрессия и корреляция (стр. 2 из 4)
| Наблюдение | Предсказанное Y | Остатки | Стандартные остатки |
| 1 | 9,846846389 | 0,353153611 | 0,510263509 |
| 2 | 10,08794507 | 0,012054934 | 0,017417896 |
| 3 | 10,12009156 | -0,020091556 | -0,029029827 |
| 4 | 10,08794507 | -0,887945066 | -1,28297135 |
| 5 | 10,02365209 | 0,676347915 | 0,977239505 |
| 6 | 10,10401831 | -1,104018311 | -1,595170599 |
| 7 | 10,29689725 | 0,103102747 | 0,148970781 |
| 8 | 10,23260427 | 0,867395727 | 1,253280084 |
2. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация
Цель работы: ознакомиться с методикой расчета показателей парной нелинейной регрессии и корреляции, овладеть приемами построения нелинейных регрессионных моделей с помощью MS Exсel.
РЕШЕНИЕ:
2.1.1 Регрессия в виде степенной функции имеет вид:
.Для оценки параметров модели линеаризую (привожу к линейному виду) модель путем логарифмирования:
.Обозначаю lny =Y, lna =A, lnx =X.
Тогда получаю: Y=A+bX.
Для расчетов составляю с помощью MS Excel вспомогательную таблицу, в которой рассчитаю натуральные логарифмы с помощью математической функции LN (рисунок 7).
Рисунок 7 Расчет натуральных логарифмов
Далее с помощью инструмента Регрессия рассчитываю параметры уравнения (рисунки 8, 9).
Рисунок 8 Диалоговое окно Регрессия
Рисунок 9 Результаты расчета параметров степенной функции
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:
.Выполнив потенцирование, получим:
.Параметр b=0,151 означает коэффициент эластичности, который показывает, что с ростом величины среднедушевых доходов населения на 1% общий коэффициент рождаемости увеличится в среднем на 0,151%.
2.1.2 Регрессия в виде экспоненты имеет вид:
. (13)Для оценки ее параметров необходимо привести уравнение к линейному виду:
.Для расчета параметров экспоненциальной прямой можно воспользоваться статистической функцией ЛГРФПРИБЛ MS Excel. Результаты вычислений представлены на рисунке 10.
Рисунок 10 Результаты вычислений параметров экспоненциальной функции
Таким образом, уравнение регрессии в виде экспоненты имеет вид:
.2.1.3 Регрессия в виде равносторонней гиперболы имеет вид:
,чтобы оценить параметры a и b, привожу модель к линейному виду, заменив
.Тогда
.Результаты замены представлены на рисунке 11.
Рисунок 11 Вспомогательная таблица для расчета параметров гиперболы
Далее с помощью инструмента Регрессия рассчитываю параметры уравнения. Результаты расчета представлены на рисунке 12.
Рисунок 12 Результаты вычислений параметров гиперболической функции
Выберем наилучшую модель, для чего объединим результаты построения парных регрессий в одной таблице 3.
Все уравнения регрессии достаточно хорошо описывают исходные данные.
Таблица 3 Результаты корреляционно-регрессионного анализа
| Уравнение регрессии | Коэффициент корреляции | Коэффициент детерминации | F-критерий Фишера |
 | 0,659 | 0,036 | 0,227 |
 | 0,161 | 0,026 | 0,159 |
 | 0,179 | 0,032 | 0,201 |
 | 0,152 | 0,023 | 0,143 |
Предпочтение можно отдать линейной функции, для которой значения коэффициентов корреляции и детерминации и F-критериев Фишера наибольшие.
3. Множественная регрессия
Цель работы – овладеть методикой построения линейных моделей множественной регрессии, оценки их существенности и значимости, расчетом показателей множественной регрессии и корреляции.
Постановка задачи. По данным изучаемых регионов (таблица 1) изучить зависимость общего коэффициента рождаемости (
) от уровня бедности, % ( 
) и среднедушевого дохода, тыс. руб. ( 
).Таблица 1 Исходные данные для корреляционно-регрессионного анализа
| Регион | x1 | x2 | y |
| 1Орловская область | 7,2 | 19,9 | 9,6 |
| 2 Рязанская область | 8,1 | 17,1 | 9,4 |
| 3 Смоленская область | 8,4 | 17,4 | 9,6 |
| 4 Тамбовская область | 8,6 | 13,5 | 8,9 |
| 5 Тверская область | 8,6 | 14,8 | 10,2 |
| 6 Тульская область | 8,4 | 14,2 | 8,4 |
| 7 Ярославская область | 9,9 | 15,1 | 9,9 |
| 8 Республика Карелия | 10,1 | 17 | 10,6 |
| 9 Республика Коми | 16,2 | 14,5 | 11,9 |
| 10 Архангельская область | 11,6 | 16,1 | 11,9 |
| 11 Вологодская область | 10,5 | 14,8 | 11,6 |
| 12 Калининградская область | 11,4 | 12,4 | 10,9 |
| 13 Ленинградская область | 10,6 | 12,6 | 8,3 |
| 14 Мурманская область | 15,2 | 15,5 | 10,3 |
| 15 Новгородская область | 8,6 | 20,3 | 10,7 |
| 16 Псковская область | 7,9 | 17,1 | 9,7 |
| 17 Республика Адыгея | 5,8 | 30,4 | 11,8 |
| 18 Республика Дагестан | 8 | 13,8 | 17 |
| 19 Респ-ка Ингушетия | 4 | 44,8 | 16,7 |
| 20 Кабардино-Балкарская Республика | 6,6 | 18,3 | 12,8 |
| 21 Респ-ка Калмыкия | 4,5 | 44,2 | 14,5 |
| 22 Карачаево-Черкесская Республика | 6,9 | 18,3 | 14,2 |
| 23 Республика Северная Осетия - Алания | 7,9 | 12,9 | 13,6 |
| 24 Чеченская Республикака | … | ... | 27,1 |
| 25 Краснодарский край | 9,8 | 19,2 | 11,3 |
4. Оценка параметров уравнения множественной регрессии
4.1 Оценка параметров с помощью метода определителей
Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК). При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров регрессии.
Для оценки параметров уравнения множественной регрессии построим с помощью MS Excel вспомогательную таблицу 2.
Таблица 2 Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения множественной регрессии
| № | | | |  |  |  |  |  |  |
| 1 | 7,2 | 19,9 | 9,6 | 51,8 | 143,28 | 396,01 | 69,12 | 191,04 | 92,16 |
| 2 | 8,1 | 17,1 | 9,4 | 65,6 | 138,51 | 292,41 | 76,14 | 160,74 | 88,36 |
| 3 | 8,4 | 17,4 | 9,6 | 70,6 | 146,16 | 302,76 | 80,64 | 167,04 | 92,16 |
| 4 | 8,6 | 13,5 | 8,9 | 74 | 116,1 | 182,25 | 76,54 | 120,15 | 79,21 |
| 5 | 8,6 | 14,8 | 10,2 | 74 | 127,28 | 219,04 | 87,72 | 150,96 | 104,04 |
| 6 | 8,4 | 14,2 | 8,4 | 70,6 | 119,28 | 201,64 | 70,56 | 119,28 | 70,56 |
| 7 | 9,9 | 15,1 | 9,9 | 98 | 149,49 | 228,01 | 98,01 | 149,49 | 98,01 |
| 8 | 10,1 | 17 | 10,6 | 102 | 171,7 | 289 | 107,06 | 180,2 | 112,36 |
| 9 | 16,2 | 14,5 | 11,9 | 262 | 234,9 | 210,25 | 192,78 | 172,55 | 141,61 |
| 10 | 11,6 | 16,1 | 11,9 | 135 | 186,76 | 259,21 | 138,04 | 191,59 | 141,61 |
| 11 | 10,5 | 14,8 | 11,6 | 110 | 155,4 | 219,04 | 121,8 | 171,68 | 134,56 |
| 12 | 11,4 | 12,4 | 10,9 | 130 | 141,36 | 153,76 | 124,26 | 135,16 | 118,81 |
| 13 | 10,6 | 12,6 | 8,3 | 112 | 133,56 | 158,76 | 87,98 | 104,58 | 68,89 |
| 14 | 15,2 | 15,5 | 10,3 | 231 | 235,6 | 240,25 | 156,56 | 159,65 | 106,09 |
| 15 | 8,6 | 20,3 | 10,7 | 74 | 174,58 | 412,09 | 92,02 | 217,21 | 114,49 |
| 16 | 7,9 | 17,1 | 9,7 | 62,4 | 135,09 | 292,41 | 76,63 | 165,87 | 94,09 |
| 17 | 5,8 | 30,4 | 11,8 | 33,6 | 176,32 | 924,16 | 68,44 | 358,72 | 139,24 |
| 18 | 8 | 13,8 | 17 | 64 | 110,4 | 190,44 | 136 | 234,6 | 289 |
| 19 | 4 | 44,8 | 16,7 | 16 | 179,2 | 2007 | 66,8 | 748,16 | 278,89 |
| 20 | 6,6 | 18,3 | 12,8 | 43,6 | 120,78 | 334,89 | 84,48 | 234,24 | 163,84 |
| 21 | 4,5 | 44,2 | 14,5 | 20,3 | 198,9 | 1953,6 | 65,25 | 640,9 | 210,25 |
| 22 | 6,9 | 18,3 | 14,2 | 47,6 | 126,27 | 334,89 | 97,98 | 259,86 | 201,64 |
| 23 | 7,9 | 12,9 | 13,6 | 62,4 | 101,91 | 166,41 | 107,44 | 175,44 | 184,96 |
| 24 | 9,8 | 19,2 | 11,3 | 96 | 188,16 | 368,64 | 110,74 | 216,96 | 127,69 |
| Итого | 214,8 | 454,2 | 273,8 | 2107 | 3711 | 10337 | 2393 | 5426,07 | 3252,5 |
| Среднее | 8,592 | 18,2 | 10,95 | 84,3 | 148,44 | 413,48 | 95,72 | 217,043 | 130,1 |
На основе расчетов, представленных в таблице 2, получили следующую систему: