Основы решения эконометрических задач (стр. 2 из 2)
a6 = 1/196-0,4
Какие фиктивные переменные были использованы в модели? Дайте экономическую интерпретацию полученной модели.
Решение:
Найдем минимальный объем выборки Nmin. Число факторов, включаемых в модель, m = 6, а число свободных членов в уравнении n = 1.
Nmin. = 5 (6+1) = 35
Найдем коэффициенты линейной множественной модели:
a1 = -196/8-10 = -34,5
a2 = 1/196+0,79 = 0,79
a3 = 0,1-1/196 = 0,095
a4 = 196/5 – 16 = 23,2
a5 = 0,12*196 = 23,52
a6 = 1/196-0,4 = -0,39
Получили уравнение регрессии:
y = a0 – 34,55x1 + 0,79x2 + 0,095x3 + 23,2x4 + 23,52x5 -0,39x3 + e
Экономическая интерпретация полученной модели: квартиры в районе а стоят на 34,55% дешевле, чем в районе b. При увеличении жилой площади на 0,79 % стоимость квартиры возрастает на 0,095 %. Квартиры на средних этажах стоят на 0,095 % дороже, чем на крайних. Квартиры в кирпичных домах стоят на 23,2 % дороже, чем в панельных. При увеличении срока сдачи дома на 1 % стоимость квартиры уменьшается на 0,39%.
Фиктивные переменные – это район (принимает значения а или б), этаж (средний или крайний); тип дома (панельный или кирпичный).
Постройте модель сезонных колебаний дохода торгового предприятия, используя первую гармонику ряда Фурье, по данным, приведенным в табл. 2, изобразите графически.
Таблица 2
| Месяц | Доход, тыс. руб. |
| Январь | 58,33+112* (1/196) = 58,90 |
| Февраль | 52+112* (1/196) = 52,57 |
| Март | 43,67+112* (1/196) = 44,24 |
| Апрель | 41,02+112* (1/196) = 41,59 |
| Май | 42,77+112* (1/196) = 43,34 |
| Июнь | 50,01+112* (1/196) = 50,58 |
| Июль | 56,6+112* (1/196) = 57,17 |
| Август | 64,74 + 112* (1/196) = 65,31 |
| Сентябрь | 71,04+112* (1/196) = 71,61 |
| Октябрь | 73,54+112* (1/196) = 74,11 |
| Ноябрь | 72,16+112* (1/196) = 72,73 |
| Декабрь | 66,3+112* (1/196) = 66,87 |
Воспользуйтесь вспомогательной таблицей 3.
Таблица 3
| t | соs t | sin t |
| 0 | 1,00 | 0,00 |
| 0,523599 | 0,87 | 0,50 |
| 1,047198 | 0,50 | 0,87 |
| 1,570796 | 0,00 | 1,00 |
| 2,0944395 | -0,50 | 0,87 |
| 2,617994 | -0,87 | 0,50 |
| 3,141593 | -1,00 | 0,00 |
| 3,665191 | -0,87 | -0,50 |
| 4,18879 | -0,50 | -0,87 |
| 4,712389 | 0,00 | -1,00 |
| 5,235988 | 0,50 | -0,87 |
| 5,759587 | 0,87 | -0,50 |
Решение:
Если мы рассматриваем год как цикл, то n = 12. Параметры уравнения могут быть найдены по формулам:
a0 = ∑y/n
a1 =2/n ∑y соs t
b1 =2/n ∑y sin t
Составим вспомогательную табл. 4.
Таблица 4
| Доход, тыс. руб. | соs t | y соs t | sin t | y sin t |
| 58,90 | 1,00 | 58,85 | 0,00 | 0,00 |
| 52,57 | 0,87 | 45,69 | 0,50 | 26,26 |
| 44,24 | 0,50 | 22,09 | 0,87 | 38,44 |
| 41,59 | 0,00 | 0,00 | 1,00 | 41,54 |
| 43,34 | -0,50 | -21,64 | 0,87 | 37,66 |
| 50,58 | -0,87 | -43,96 | 0,50 | 25,56 |
| 57,17 | -1,00 | -57,12 | 0,00 | 0,00 |
| 65,31 | -0,87 | -56,77 | -0,50 | -32,63 |
| 71,61 | -0,50 | -35,78 | -0,87 | -62,26 |
| 74,11 | 0,00 | 0,00 | -1,00 | -74,06 |
| 72,73 | 0,50 | 36,34 | -0,87 | -63,23 |
| 66,87 | 0,87 | 58,13 | -0,50 | -33,41 |
| ∑= 699,02 | 5,83 | 96,13 |
Получили:
a0 = 699,02/12 = 58,25
a1 =2/12 *5,83 = 0,97
b1 =2/12 *96,13 = 16,02
Получили
yt = 58,25+0,97 соs t + 16,02 sin t
Подставим фактические значения t в полученную первую гармонику ряда Фурье (табл. 5).
Таблица 5
| Месяц | t | yt |
| Январь | 0 | 58,25+0,97*1 +16,02 *0 = 59,22 |
| Февраль | 0,523599 | 58,25+0,97*0,87 +16,02 *0,5 = 67,1 |
| Март | 1,047198 | 58,25+0,97*0,5 +16,02 *0,87 = 72,67 |
| Апрель | 1,570796 | 58,25+0,97*0 +16,02 *1 = 74,27 |
| Май | 2,0944395 | 58,25+0,97*(-0,5) +16,02 *0,87 = 71,7 |
| Июнь | 2,617994 | 58,25+0,97*(-0,87) +16,02 *0,5 = 65,41 |
| Июль | 3,141593 | 58,25+0,97*(-1) +16,02 *0 = 57,28 |
| Август | 3,665191 | 58,25+0,97*(-0,87) +16,02 *(-0,5) = 49,40 |
| Сентябрь | 4,18879 | 58,25+0,97*(-0,5) +16,02 *(-0,87) = 43,82 |
| Октябрь | 4,712389 | 58,25+0,97*(0) +16,02 *(-1) = 42,23 |
| Ноябрь | 5,235988 | 58,25+0,97*(0,5) +16,02 *(-0,87) = 44,79 |
| Декабрь | 5,759587 | 58,25+0,97*(0,87) +16,02 *(-0,5) = 51,08 |
Строим график исходных данных и первой гармоники ряда Фурье (рис. 3)
Рисунок 3 – Первая гармоника ряда Фурье
В торгово-розничную сеть поступило 3 вида взаимозаменяемой продукции разных производителей: А1, А2, А3. Предположим, что покупатели приобретают продукцию только одного из них. Пусть в среднем они стремятся поменять ее не более одного раза в год, и вероятности таких изменений постоянны.
Результаты маркетинговых исследований покупательского спроса на продукцию дали следующее процентное соотношение:
Х1 % покупателей продукции А1 переходит на продукцию А2,
Х2 % покупателей продукции А2 - на продукцию А3,
Х3 % покупателей продукции А3 – на продукцию А1,
Где Х1 = (196 – 90)/3
Х2 = (315-196)/5
Х3 = (196 – 90)/4
Требуется:
Построить граф состояний
Составить матрицу переходных вероятностей для средних годовых изменений
Предположить, что общее число покупателей постоянно, и определить, какая доля из их числа будет покупать продукцию А1, А2 и А3 через 2 года
Определить, какая продукция будет пользоваться наибольшим спросом
Решение:
Найдем значения Х1, Х2 и Х3.
Х1 = (196 – 90)/3 = 35,33
Х2 = (315-196)/5 = 24
Х3 = (196 – 90)/4 = 26,5
Построим граф состояний (рис. 4):
Рисунок 4 – Граф состояний системы
Составим матрицу переходных вероятностей:
||Pij|| =
= 
Зададим вектор начальных вероятностей
Р(0) =
Т.е. Р1 (0) = 1
Р2 (0) = 1
Р3(0) = 1
Определим вероятности состояния Рi (k) после первого шага (после первого года):
Р1(1) = Р1(0)Р11 + Р2(0)Р21 + Р3(0)Р31 = 1*0,647 + 1*0 + 1*0,265 = 0,912
Р2(1) = Р1(0)Р12 + Р2(0)Р22 + Р3(0)Р32 = 1*0,353 + 1*0,76 + 1*0 = 1,113
Р3(1) = Р1(0)Р13 + Р2(0)Р23 + Р3(0)Р33 = 1*0+ 1*0,24 + 1*0,735 = 0,975
Определим вероятности состояний после второго шага (после второго года):
Р1(2) = Р1(1)Р11 + Р2(1)Р21 + Р3(1)Р31 = 0,912*0,647 + 1,113*0 + 0,975*0,265 = 0,848
Р2(2) = Р1(1)Р12 + Р2(1)Р22 + Р3(1)Р32 = 0,912*0,353 + 1,113*0,76 + 0,975*0 = 1,167
Р3(1) = Р1(1)Р13 + Р2(1)Р23 + Р3(1)Р33 = 0,647*0+ 1,113*0,24 + 0,975*0,735 = 0,983
Вывод: через два года 84,8% покупателей будут приобретать продукцию А1, около 98,3 % покупателей – А3, число покупателей продукции А2 увеличится в 1,67 раза.
Продукция А2 будет пользоваться наибольшим спросом.
1. Бахтин А.Е. Математическое моделирование в экономике. Часть 1,2. – Новосибирск, 1995
2. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М., Прогресс,1975.
3. Кубонива Р. Математическая экономика на персональном компьютере. – М., Финансы и статистика,1991.
4. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М., Наука,1987.
5. Рональд У. Ларсен. Инженерные расчеты в Excel : Научно-популярное издание. – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2002. – 544 с.
6. Справочник по математике для экономистов. – М., Высшая школа,1987.
7. Эконометрика: Методические указания и задания контрольной работы/ Сост. канд.. тех.наук, доцент А.А. Алетдинова. – Новосибирск: СибУПК, 2003.