Оптимизация работы предприятия ООО "Техсервис" по критерию прибыли за счет инноваций технологии и экономии ресурсов (стр. 15 из 22)
,где х0,
— исходное и сглаженное значения средней точки в скользящей группе; х-1, 
— исходное и сглаженное значения в левой от средней точке; х+1, 
— исходное и сглаженное значения в правой от средней точке.Для средней точки скользящей группы из т = 2к +1 точек в общем виде формула имеет вид
При большом числе точек исходного ряда используют рекуррентную формулу:
При наличии в исходном ряде значительных случайных отклонений единичных реализаций от групповых средних процедура сглаживания дает хорошие результаты, способствуя выявлению тенденции ряда. При необходимости сглаживание может быть выполнено повторно по уже сглаженному ряду значений. Однако эффективность многократного сглаживания быстро уменьшается и более одного — трех раз его выполнять нецелесообразно.
Метод наименьших квадратов дает наиболее точные результаты при аппроксимации линейных зависимостей. Достаточно успешно его применяют также для определения параметров парабол, кубических полиномов и гипербол. Чтобы получить параметры других аппроксимирующих зависимостей, прибегают к процедуре выравнивания тренда путем его линеаризации. То есть эмпирическую зависимость вида x = f(t) приводят к виду
X=A+BT.
Коэффициенты А и В линеаризованной зависимости определяют методом наименьших квадратов, после чего осуществляют обратный переход от вычисленных значений А и В к исходным a и b произвольной функции x = f(t).
2.2.9 Обработка временных рядов методом наименьших квадратов
Сущность метода наименьших квадратов (МНК) заключается в минимизации суммы квадратов случайных отклонений
, фактических значений временного ряда от тренда f(t):
(2.15)Минимизируется сумма квадратов отклонений, а не самих отклонений по той причине, что эти отклонения могут иметь как положительное, так и отрицательное значения и при суммировании взаимно погашаются. Отсюда название метода.
МНК дает наиболее точные результаты в случае, когда f(t) имеет линейный вид. Однако на практике этим методом пользуются и при определении параметров функций, описываемых параболической и гиперболической зависимостями; погрешность МНК в этом случае для практических целей не существенна. Рассмотрим МНК для определения параметров следующих зависимостей:
f(t)= a0 + a1t - линейная зависимость;
f(t)= a0 + a1t + a2t2– парабола;
- гипербола.Для линейной зависимости условие (2.15) запишется в виде
(2.16)Для краткости обозначим сумму
через Q.Тогда задача определения тренда формулируется так: найти такие значения коэффициентов а0 и а1, чтобы Q = min Q.
Необходимым условием осуществления минимума функции является равенство нулю частных производных этой функции по параметрам а0 и а1:
После преобразования получим систему так называемых нормальных уравнений:
Решив эту систему относительно а0 и а1, получим параметры функции f(t)= a0 + a1t.
2.2.10 Обработка временных рядов методом наименьших квадратов с весами
Экстраполяция выполненной с помощью МНК тенденции изменений показателя на прогнозный период предполагает, что вес наблюдения (уровни временного ряда) равнозначны для прогноза. Однако информация об изменении показателя в период времени, непосредственно примыкающий к моменту прогноза, "ценнее" для прогнозирования, чем в более удаленный. Но и более удаленные от момента прогноза наблюдения временною ряда также несут значительную информацию о процессе, поэтому пренебрегать этими наблюдениями при расчете прогноза не следует.
Для учета различной "ценности", или, как это принято в терминологии прогнозирования и информатики, "веса" информации в различные моменты времени применяют метод наименьших квадратов с весами (МНКВ) и метод экспоненциального сглаживания.
Рассмотрим метод наименьших квадратов с весами.
Суть метода заключается в том, что каждому отклонению
, придается вес βt<1, причем веса возрастают для точек, находящихся ближе к моменту прогнозирования. Следовательно, чем дальше наблюдение (уровень) стоит от момента прогноза, тем меньший вес оно имеет, тем меньшее влияние оказывает на формирование уровня прогнозного значения показателя.Для определения веса βt, удобно использовать выражение
βt = λn-(t-1) (2.17)
где λ — некоторое число, меньшее единицы;
п — число наблюдений.
Чем меньше величина λ, тем меньше ранние наблюдения влияют на прогноз.
Условие (2.17) для МНКВ запишется в виде
Система нормальных уравнений для МНКВ имеет вид
2.2.11 Прогнозирование временных рядов методом экспоненциального сглаживания
Идея метода заключается в том, что временной ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, веса которой подчиняются экспоненциальному закону, причем чем дальше от момента прогноза отстоит точка ряда, тем меньшее участие принимает она в формировании прогнозного значения.
В общем виде скользящая средняя St временного ряда по т наблюдениям при длине ряда п определяется по формуле
(2.18)С помощью скользящей средней можно прогнозировать временные ряды, однако на практике этот метод используется редко из-за грубых результатов.
Прогноз временных рядов методом экспоненциального сглаживания (в дальнейшем ЭС) основывается на вычислении экспоненциальной средней k-гo порядка для ряда хі:
(2.19)где
— экспоненциальная средняя k-го порядка для t-го наблюдения временного ряда; 
— экспоненциальная средняя [k-1]-го порядка для [t-1]-го наблюдения временного ряда;k — порядок средней, характеризующий уровень ряда в зависимости от степени прогнозирующего полинома;
t — точка ряда, для которой вычисляется средняя;
i-номера точек, для которых вычисляется средняя,
;α — параметр сглаживания.
Экспоненциальная средняя
для t-й точки временного ряда равняется некоторой доле экспоненциальной средней [k-1]-го порядка для предыдущей точки временного ряда.Эта доля определяется коэффициентом α, называемым параметром сглаживания.
Физический смысл параметра α заключается в том, что он показывает вес t-го наблюдения в прогнозе.
Для рядов, описываемых линейной зависимостью, вычисляются дне экспоненциальные средние: первого и второго порядков:
и 
; для рядов, описываемых квадратичной зависимостью, вычисляются три средние: первого, второго и третьего порядков: , , 
. Вообще для ряда 
порядок k изменяется в пределах от 1 до n+1.
Экспоненциальную среднюю первого порядка
вычисляют по формуле 
(2.20)В практических вычислениях вместо формул (2.19) и (2.20) удобно использовать рекуррентное соотношение
(2.21)Экспоненциальная средняя
равняется сумме долей экспоненциальных средних 
и 
. Величина этих долей определяется параметром сглаживания α.