Оптимальное планирование выпуска продукции "ОАО Звенигородский сыркомбинат" (стр. 11 из 16)

Экспертные методы прогнозирования опираются на методы качественного оценивания систем. Но более часто используются разновидности метода Дельфи и метод сценариев в сочетании со статистическими методами.

Логические методы прогнозирования основываются на проведении аналогии функционирования рассматриваемой системы с историей функционирования какой-либо другой системы.

Методы экстраполяции относятся к аналитическим метода прогнозирования состояния систем. Примером экстраполяции служит прогнозирование значений какой-либо величины по имеющимся табличным данным. В качестве исходной информации при этом берутся временные ряды динамики параметров системы - набор наблюдений некоторых числовых характеристик параметров системы, взятых в равноотстоящие или неравноотстоящие моменты времени за определенный период.

В основе методов экстраполяции лежит понятие интерполирования. Известно, что интерполированием называется процесс вычисления промежуточных значений функции на основании заданного ряда значений этой функции. В широком смысле слов; интерполирование - это представление некоторой функции известного или неизвестного вида, ряд значений которой при определенных значениях независимой переменной задан, при помощи другой, более простой функции.

Пусть

будет функцией, заданной рядом значений которые она принимает при значениях независимой переменной х, и пусть обозначает произвольную более простую функцию, принимающую для те же самые значения, что и . Замена в пределах данного интервала на и есть интерполирование.

Формула

, которая при этом получается для вычисления значений у, называется интерполяционной формулой.

Функция

может иметь различный вид. Когда есть полином, процесс замещения через называется параболическим, или полиномиальным, интерполированием. Когда есть тригонометрический полином, процесс называется тригонометрическим интерполированием. Функция может быть также составлена из показательных функций, полиномов Лежандра, функций Бесселя и т.д. В практических задачах в качестве выбирается простейшая функция, могущая заменить данную функцию на рассматриваемом интервале. Так как самой простой функцией является полином, почти все основные интерполяционные функции являются полиномиальными. В случае, когда известно, что данная функция периодична, лучше заменить ее тригонометрическим полиномом.

Теоретическое обоснование замены данной функции полиномом или тригонометрическим полиномом опирается на две замечательные теоремы, доказанные Вейерштрассом в 1885 г. Эти теоремы можно сформулировать так.

Теорема 1. Любая непрерывная в интервале (а, b) функция может быть заменена в нем с любой степенью точности полиномом. Другими словами, можно найти такой полином Р(х), что

для каждого значения x в интервале (а, b), причем ε есть любая положительная величина.

Теорема 2. Любая непрерывная с периодом 2π функция может быть заменена тригонометрическим полиномом вида

так, что

для каждого значения х в рассматриваемом интервале, причем ε есть любая положительная величина. Геометрический смысл этих теорем состоит в том, что если нанести графики функций , и , то можно найти многочлен или тригонометрический многочлен, график которого будет находиться внутри области, ограниченной кривыми и при всех значениях х между а и b, как бы мало ни было ε.

При таком представлении процесса интерполирования становится понятно, что экстраполирование - это процесс вычисления значения функции, находящегося за пределами ряда заданных значений.

Экстраполирование нужно применять с осторожностью. Но если известно, что функция около концов данного ряда значений изменяется плавно, и если Δх берется достаточно малым, то можно спокойно экстраполировать на расстояние Δх за пределами ряда имеющихся значений.

Для проведения интерполирования существует ряд формул рассматриваемых в численных методах математического анализа. При их применении в прогнозировании следует учитывать что если число точек

неограниченно возрастает то интерполирующий полином превращается в бесконечный ряд. называемый интерполяционным рядом. И подобно тому как степенной ряд сходится внутри и расходится во вне некоторого определенного интервала, так и интерполяционный ряд сходится к заданной функции внутри некоторого интервала и перестает к ней сходиться вне его.

Поскольку увеличение периода упреждения прогноза Δх влечет за собой увеличение степени неопределенности процессов развития системы, то в методах экстраполяции выделяют статистические методы.

Прогнозирование, основанное на использовании методов статистического анализа ретроспективных данных, допустимо в том случае, когда между прошлым и будущим имеется определенная причинно-следственная связь. Можно утверждать, что анализ ретроспективных данных служит надежной основой для принятия решений относительно будущих хозяйственных действий, однако не следует забывать, что прогностические оценки, полученные методом статистического анализа, подлежат корректировке в случае, если известны те или иные факторы, влияние которых с той или иной вероятностью ожидается в будущем.

Наиболее характерной задачей прогнозирования, которая решается в каждой фирме, является задача прогнозирования спроса на товары или услуги фирмы. Для решения этой задачи необходимо предварительное изучение рынков сбыта маркетинговыми исследованиями, которые и поставляют необходимую статистическую информацию для применения методов статистического анализа при разработке прогнозов.

Алгоритм построения прогноза методом статистического анализа состоит из следующих шагов:

- строится график зависимости спроса от времени;

- на основе визуального изучения графика делается предположение об аналитической форме кривой, которая наилучшим образом способна аппроксимировать ломаную на графике;

- применяется метод наименьших квадратов для построения прогнозирующей кривой;

- оценивается среднее значение погрешности полученных прогнозных оценок;

- принимается решение об использовании или не использовании

- выбранной кривой для построения прогноза.

Наиболее часто употребляемым методом построения прогнозирующей функции является метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов позволяет подобрать некоторую непрерывную аналитическую функцию для аппроксимации дискретного набора исходных данных. Выбор функции считается наилучшим, если сведено к минимуму стандартное отклонение по рассматриваемой временной выборке, которое определяется по формуле:

где

— фактический спрос, наблюдаемый в t-й период (отрезок) времени;

— значение прогнозирующей функции для того же момента

времени;

п — число периодов (наблюдений), т. е. длина временной выборки;

f – число степеней свободы.

Суммирование ведется по всей выборке, поэтому, как это принято в статистике, нижний и верхний индексы суммирования опущены.

Минимизация

эквивалентна минимизации . Поэтому задача сводится к минимизации суммы квадратов разностей между фактическим значением спроса в момент t и тем значением, которое принимает прогнозирующая функция.

Наиболее часто для построения прогнозирующей функции используют линейную функцию

, параболу , гиперболу , многочлены более высоких порядков.