Определение оптимальных складских запасов (стр. 2 из 2)

Максимальный дефицит Y_g выражается через Y (рис. 1)

. (1.1)

Находим

и , тогда

. (2)

Обозначим

, (3)

Получим

. (4)

Подставляя (4) в (1.1), получаем

(5)

Найдем выражение для функции затрат с учетом (4), (5):

. (6)

Для нахождения средних затрат в единицу времени, поделим функцию затрат L_T на период времени Т:

. (7)

Теперь нужно найти такие значения Y₀, T₀, для которых функция L_ср минимальна. Для этого составляем и решаем систему уравнений из частных производных функции средних затрат в единицу времени L_ср по предельному запасу Y и по периоду времени Т:

Получим из первого уравнения системы и приравняем к нулю:

. (8)

Из второго аналогично:

. (9)

Из (8) получим такое соотношение

. (10)

Наконец, из (9) получим

. (11)

Подставляя в уравнение (11) выражение для Т из (10), после несложных преобразований получим

(12)

Подставив в (12) выражение для a из (3) и поделив числитель и знаменатель на λР, получим окончательное выражение для оптимального уровня запаса

; (13)

Подставив это выражение в (10), находим оптимальный период поставки

. (14)

При таких значениях Y₀, T₀, достигается минимум средних расходов в единицу времени:

. (15)

Рассмотрим теперь частные случаи общей задачи:

1)недостаток запасов недопустим (см. рис. 3).

Рис. 3. График изменения запасов в случае, когда недостаток запасов не допустим

Если дефицит запасов недопустим значит, что удельный штраф за дефицит единицы продукта в единицу времени Р = ∞ и подставив S/P=0 в (13) - (15), получим:

, (16)

,(17)

; (18)

2) мгновенные поставки (рис. 4).

Рис. 4. График изменения запасов при мгновенных поставках

Мгновенные поставки означают, что λ = ∞ и μ/λ = 0. Теперь подставим в уравнения (13) - (15), получим

, (19)

,(20)

; (21)

3)дефицит не допускается, поставки мгновенные (рис. 5).

Рис. 5. График изменения запасов в случае, когда не допускается дефицит и поставки мгновенные

Данный частный случай является комбинированным из первого и второго пунктов, которые рассмотрены выше. Подставив Р = ∞ и S/P=0, λ = ∞ и μ/λ = 0 в (13) - (15), получим

, (22)

,(23)

; (24)

Соотношения (22) – (24) называются формулами Уилсона, а (22) - экономическим размером партии.

4. Реализация найденного решения на практике

Задача управления запасами, а именно выбранная мною модель реализована в MathCad 2001iProfessional.

Список литературы

1. Черногородова Г.М. Теория принятия решений: Конспект лекций. Ч.1. Екатеринбург: Изд-во УМЦ УПИ, 2001. 97с.

2. Ю.П. Зайченко. Исследование операций. Учебник. - 6-е изд. Киев: Изд. дом: «Слово», 2003. 688с.

3. Задачи по исследованию операций. http://www.allmath.ru/appliedmath/operations/problems-tgru/zadachi.htm

4. Исследование операций: методы и модели. http://ecocyb.narod.ru/317/begin.htm

5. Электронное учебное пособие по курсу: «Моделирование экономических процессов». http://www.usfeu.ru/general_info/faculties/feu/metod/0611/Ush_posobie/Mep/ModEcProc/ras2.html

6. Википедия. Свободная энциклопедия. http://ru.wikipedia.org