Некоторые задачи оптимизации в экономике (стр. 1 из 12)
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
Некоторые задачи оптимизации в экономике
Выполнила:
студентка V курса математического факультета
Голомидова Ирина Витальевна
Научный руководитель:
Ст. преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
С. А. Фалелеева.
Рецензент:
кандидат педагогических наук, ст. преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Л.В. Караулова.
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение................................................................................................... 3
1. Математические модели в экономике................................................. 4
2. Некоторые понятия функций нескольких переменных...................... 6
3. Задача математического программирования
1) Общая постановка задачи.............................................................. 8
2) Задача линейного программирования и способы её решения..... 9
3) Двойственная задача.................................................................... 19
4) Задача нелинейного программирования..................................... 26
5) Задача на условный экстремум.................................................... 31
4. Задача потребительского выбора.
1) Функция полезности. Бюджетное ограничение. Формулировка задачи потребительского выбора................................................................ 34
2) Решение задачи потребительского выбора и его свойства......... 36
3) Общая модель потребительского выбора................................... 39
4) Модель Стоуна ............................................................................ 40
Заключение............................................................................................. 42
Библиографический список................................................................... 43
Введение
Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчёта, но также методом точного исследования и средством предельно чёткой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками, а поэтому вобрала в себя большое число математических методов.
Актуальность данной темы состоит в том, что в современной экономике используются оптимизационные методы, которые составляют основу математического программирования, теории игр, сетевого планирования, теории массового обслуживания и других прикладных наук.
Изучение экономических приложений математических дисциплин, составляющих основу актуальной экономической математики, позволяет приобрести некоторые навыки решения экономических задач и расширить знания в этой области.
Целью данной работы является изучение некоторых оптимизационных методов, применяемых при решении экономической задач.
При написании дипломной работы были поставлены следующие задачи:
· Рассмотрение некоторых экономических задач и составление математических моделей.
· Изучение некоторых математических методов, применяемых для решения оптимизационных задач в экономике.
· Практическое решение задач.
1. Математические модели в экономике
Современная экономическая теория включает как естественный, необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи. Во-вторых, из чётко сформулированных исходных данных и соотношений можно сделать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценить форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. В-четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать её понятия.
Математические модели использовались с иллюстративными исследованиями ещё Ф. Кене (1758г., «Экономическая таблица»), А. Смитом (Классическая макроэкономическая модель), Д. Риккардо (Модель международной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесли математики Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето и другие. В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Р. Солоу, В. Леонтьев, Л. Канторович и другие). Развитие макроэкономики, микроэкономики, прикладных дисциплин связано со все более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики. В России в начале XX века большой вклад в математическое моделирование экономики внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий. В 1960-е – 80-е годы экономико-математическое направление было связано, в основном, с попытками формально описать «систему оптимального функционирования социалистической экономики» (Н.П. Федоренко, С.С. Шаталин). Строились многоуровневые системы моделей народно – хозяйственного планирования, оптимизационные модели областей и предприятий.
Математическаямодель экономического объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Иными словами, модель – это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые решения в той или иной ситуации.
Можно выделить 3 этапа проведения математического моделирования в экономике:
1. ставятся цели и задачи исследования, проводится качественное описание объекта в виде экономической модели.
2. формируется математическая модель изучаемого объекта, осуществляется выбор методов исследования. Далее исследуется модель с помощью этих методов.
3. осуществляется обработка и анализ полученных результатов.
Математические модели, используемые в экономике, можно подразделить на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария: модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические.
Мы будем рассматривать некоторые оптимизационные модели. К оптимизационным моделям относят следующие: модель линейного программирования, нелинейного, динамического, сетевые модели. Будем рассматривать модели линейного и нелинейного программирования.
2. Некоторые понятия функций нескольких переменных
Многим экономическим явлениям присуща многофакторная зависимость, поэтому при изучении процессов в экономике вводят функции нескольких переменных.
Переменная y называется функцией нескольких переменныхx1,x2,…,xn, если существует отображение f: Rn→R. Множество всех точек М, участвующих в этом отображении, называется областью определения функции, где М(x1,x2,…,xn).
Наиболее часто встречается функция двух переменных. В экономике для её изучения широко применяются линии уровня.
Линиями уровня функции двух переменных y=f(x1,x2) называется проекция пересечения графика функции y=f(x1,x2) с горизонтальной плоскостью на плоскость Ох1х2, причём линия пересечения находится от плоскости Ох1х2 на высоте С. Уравнение линии уровня имеет вид f(x1,x2)=С. Число С в этом случае называется уровнем.
Как и в случае одной переменной, функция y=f(x1,x2) имеет узловые, определяющие структуру графика, точки. В первую очередь это точки экстремума. Точки экстремума функции двух переменных определяются аналогично точкам экстремума функции одной переменной
Сформулируем необходимое условие экстремума – многомерный аналог теоремы Ферма: Пусть точка (
) - есть точка экстремума дифференцируемой функции y=f(x1,x2). Тогда частные производные 
( ), 
( ) в этой точке равны нулю.Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции y=f(x1,x2), т. е частные производные
равны нулю, называются стационарными.Равенство нулю частных производных выражает лишь необходимое условие, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.