Некоторые задачи оптимизации в экономике (стр. 3 из 12)

Для того чтобы рассмотреть теоретические основы метода линейного программирования, определим понятие выпуклого множества точек, дав ему определение в аналитической форме:

Множество точек является выпуклым, если оно вместе с любыми своими двумя точками содержит их произвольную линейную комбинацию. Точка Х является выпуклой линейной комбинацией точек Х₁, Х₂, … Х_n,если выполняются условия Х= α₁x₁+α₂x₂+…+α_nx_n, α_j≥0, (j=1,…,n),

.

Теорема 1. Выпуклый линейный многогранник является выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек. (Примем без доказательства).

Теорема 2. Множество всех допустимых решений системы ограничений ЗЛП является выпуклым.

□ Пусть Х₁=( x

,x

_, …,х

) и Х₂=( x

,x

_, …,х

)- два допустимых решения задачи (3.3), заданной в матричной форме. Тогда АХ₁=В и АХ₂=В. рассмотрим выпуклую линейную комбинацию решений Х₁ и Х₂ , т.е. Х=α₁Х₁+α₂Х₂ при α₁ ≥0, α₂ ≥0 и α₁+α₂=1. Покажем, что она также является допустимым решением системы АХ=В. В самом деле, АХ=А(α₁Х₁+α₂Х₂)=α₁АХ₁+(1-α₁)АХ₂= α₁В+(1-α₁)В=В, т.е. решение удовлетворяет системе ограничений. Но т.к. Х₁≥0, Х₂ ≥0, α₁ ≥0, α₂ ≥0 , то и Х ≥0, т.е. решение Х удовлетворяет условию (3.3). ■

Итак, доказано, что множество всех допустимых решений ЗЛП является выпуклым, которое будем называть многогранником решений.

Ответ на вопрос, в какой точке многогранника решений возможно оптимальное решение ЗЛП, даёт следующая теорема.

Теорема 3.Если ЗЛП имеет оптимальное решение, то линейная функция F принимает максимальное (минимальное) значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если линейная функция принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, то она принимает его в произвольной точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

□ Будем полагать, что многогранник решений является ограниченным. Обозначим его угловые точки через Х₁,Х_2, …,Х_n, аоптимальное решение через Х^*. Тогда F(Х^*) ≥F(X), для всех точек многогранника решений. Если Х^* угловая, то первая часть теоремы доказана. Предположим, что Х^* не является угловой точкой, тогда Х^*, на основании теоремы 1, можно представить как выпуклую линейную комбинацию угловых точек многогранника решений, т.е. Х^*=α₁x₁+α₂x₂+…+α_рx_р, α_j≥0, (j=1,…,n),

. Т.к.

F(Х^*)=F(α₁x₁+α₂x₂+…+α_рx_р)=α₁F(x₁)+α₂F(x₂)+…+α_рF(x_р). (3.4)

В этом выражении среди значений F(X_j)(j=1,2,…,p) выберем максимальное. Обозначим его через М, т.е. М=maxF(X_j). Тогда

α₁F(x₁)+ α₂F(x₂) +…+ α_рF(x_р)≤ α₁М+ α₂М +…+ α_рМ = М(α₁+α₂+…+α_р) =М.

Значит F(Х^*)≤М. Пусть М=F(X_k), т.е. соответствует угловой точке X_k(1≤к≤р).

Тогда F(Х^*) ≤ F(X_k). Но по предположению Х^* - оптимальное решение, поэтому F(Х^*)≥F(X_k)=М, следовательно, F(Х^*)=М=F(X_k), где X_k- угловая точка. Итак, существует угловая точка X_k, в которой линейная функция принимает максимальное значение.

Для доказательства второй части теоремы допустим, что F(Х) принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, например в точках Х₁, Х₂, … Х_q , где 1≤ q≤ р; тогда F(Х₁)=F(Х₂)=…=F(Х_n)=M.

Пусть Х выпуклая линейная комбинация этих угловых точек, т.е. Х= α₁Х₁+α₂Х₂+ …+α_qХ_q , α_j≥0, (j=1,…,q),

. В этом случае, учитывая, что функция F(Х) – линейная, получим F(Х)=F(α₁Х₁+α₂Х₂+…+α_qХ_q)=α₁F(Х₁)+ +α₂F(Х₂)+…+α_qF(Х_q)=α₁M+α₂M+…+α_qM=M

=M, т.е. линейная функция F принимает максимальное значение в произвольной точке Х, являющейся выпуклой линейной комбинацией угловых точек Х₁, Х₂, … Х_q ■

Замечание. Требование ограниченности многогранника решений в теореме является существенным, т.к. в случае неограниченной многогранной области не каждую точку можно представить выпуклой линейной комбинацией её угловых точек.

Доказанная теорема является фундаментальной, т.к. она указывает принципиальный путь решения ЗЛП.

Рассмотрим геометрический метод решения ЗЛП в случае функции двух переменных.

Было доказано, что оптимальное решение ЗЛП находится, по крайней мере, в одной из угловых точек многогранника решений.

Рассмотрим задачу в стандартной форме с двумя переменными.

F=c₁x₁+c₂x₂+с₀ →min(max),

При ограничениях а₁₁х₁+ а₁₂х₂ ≤b₁,

а₂₁х₁+ а₂₂х₂ ≤b₂,

………………

a_n1х₁+ а_n2х₂≤b_n ,

при условии, что x₁ ≥0,x₂ ≥0 .

Пусть геометрическим изображением системы ограничений является многоугольник ABCDE. Необходимо среди точек этого многоугольника найти такую точку, в которой линейная функция F=c₁x₁+c₂x₂+с₀принимает максимальное (или минимальное) значение. Рассмотрим линии уровня функции Fили

c₁x₁+c₂x₂=С ( 3.5).

Это уравнение прямой. Линии уровня функции F параллельны, т.к. их угловые коэффициенты определяются только соотношением между коэффициентами c₁ и c₂ и, следовательно, равны. Т.о., линии уровня функции F – это своеобразные «параллели», расположенные обычно под углом к осям координат.

Важное свойство линий уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в другую сторону – только убывает. При фиксированном С рассмотрим линейную функцию. Чем больше значение С, тем больше значение линейной функции. Определив направление возрастания линейной функции, найдём точку, принадлежащую многоугольнику, в которой функция принимает максимальное или минимальное значение.

Геометрическим изображением системы ограничений может служить и многоугольная область. Рассмотрим следующую задачу.

1.В суточный рацион включают два продукта питания П₁ и П₂, причём продукта П₁ должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость питательных веществ в 1 ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в таблице. Определить оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей.

Питательные вещества	Минимальная норма потребления	Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта.
		П1	П1
А В	120 160	0,2 0,4	0,2 0,2

Решение.