На рисунке изображена седловая точка М( 
). Частные производные 
( 
), 
( ) равны нулю, но экстремума в точке М( ) нет. Такие седловые точки являются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной. Нужно отделить их от точек экстремума. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Пусть функция y=f(x1,x2):
a) определена в некоторой окрестности стационарной точки (
), в которой 
( )=0 и ( )=0;b) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго поряка
( )=А, 
( )= 
( )=В, 
( )=С.Тогда, если
=АС-В2>0, то в точке ( ) функция имеет экстремум, причём, если А>0 минимум, А<0 – максимум. В случае =АС-В2<0, функция y=f(x1,x2) экстремума не имеет. Если =АС-В2=0, то вопрос о наличии экстремума остаётся открытым. Требуются другие методы определения экстремума. [11]В экономических задачах чаще встречаются задачи на условный экстремум. Перейдем к рассмотрению таких задач.
3. Задача математического программирования (ЗМП).
1) Общая постановка задачи
В теории экстремума на независимые переменные x1,x2, …,хnне накладываются никакие дополнительные условия, т.е. не требуется, чтобы переменные удовлетворяли некоторым дополнительным ограничениям.
Рассмотрим другую задачу. Найти максимум (минимум) функции y=f(x1,x2, …,хn), при условии, что независимые переменныеx1,x2, …,хn удовлетворяют системе ограничений:
g1(x1,x2, …,хn)≤b1,…………………………
gm(x1,x2, …,хn)≤bm,
gm+1(x1,x2, …,хn)≥bm+1,
…………………………
gk(x1,x2, …,хn)≥bk,(3.1)
gk+1(x1,x2, …,хn)=bk+1,
…………………………
gp(x1,x2, …,хn)=bp,
x1,x2,…,хn ≥0.
Функцию y=f(x1,x2, …,хn) принято называть целевой, т.к. её максимизация (минимизация) часто есть выражение какой-то цели, систему ограничений (3.1) – специальными ограничениями ЗМП, неравенстваx1≥0 ,x≥02, …, хn≥0 – общими ограничениями ЗМП. Множество всех допустимых решений ЗМП (хj≥0, j=
) называется допустимым множеством этой задачи.Точка (
) называется оптимальным решениемдля функции двух переменных, если, во-первых, она есть допустимое решение этой ЗМП, а во-вторых, на этой точке целевая функция достигает максимума (минимума) среди всех точек, удовлетворяющих ограничениям (3.1), причёмf (
)≥ f(x1,x2)(в случае решения задачи на отыскание максимума), f (
) ≤ f(x1,x2) (в случае решения задачи на отыскание минимума). Если в ЗМП все функции f(x1,x2, …,хn), gi(x1,x2, …,хn) линейны, то имеем задачу линейного программирования (ЗЛП), если хотя бы одна из функций нелинейная, имеем задачу нелинейного программирования (ЗЛП). Рассмотрим ЗЛП.
2) ЗЛП и способы её решения.
ЗЛП имеет вид F=c1x1+c2x2+…+cnxn+c0→min(max). При этом переменные должны удовлетворять ограничениям:
а11х1+ а12х2+…+а1nхn≤b1…………………………
аm1х1+ аm2х2+…+amnxn≤bm
аm+11х1+ аm+12х2+…+аm+1nхn≥bm+1
…………………………
аk1х1+ аk2х2+…+аknхn≥bk(3.2)
аk1+1х1+ аk+12х2+…+аk+1nхn=bk+1
………………………….
аp1х1+аp2х2+…+аpnхn=bp
x1,x2,…,хn ≥0.
ЗЛП может быть записана в различных формах:
Общий вид: найти минимум (максимум) целевой функции F при ограничениях (3.2) и условии неотрицательности переменных.
Стандартный вид: найти минимум (максимум) целевой функции F и ограничениях, заданных в виде неравенств и добавлены условия о неотрицательности переменных.
Канонический вид: вид, в котором нужно найти минимум (максимум) целевой функции F, где все ограничения заданы в виде равенств и есть условие неотрицательности переменных.
Стандартную задачу можно привести к каноническому виду, путём введения дополнительных неотрицательных переменных. Т.е. свести к системе m линейных уравнений с n переменными.
Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m<n) называются основными (или базисными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные m-n переменных называются неосновными или (свободными).
Базисным решением системы m линейных уравнений с n переменными называют решение, в котором все m-n неосновных переменных равны нулю.
Для обоснования свойств ЗЛП и методов её решения, рассмотрим 2 вида записи канонической задачи.
1 вид – матричная форма записи: С=(c1,c2…cn,c0).
Х=
А= 
В= 
(3.3)F=CX→ min(max)
AX=B, X≥0
2 вид – векторная форма записи:
F=CX→ min(max)
р1x1+р2x2+…+рnxn=р. Х≥0.
р1=
р2= 
… рn= 
.