Некоторые задачи оптимизации в экономике (стр. 11 из 12)
Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (ибо решение (х 
, х 
) этих двух задач одно и то же)
u(x1,x2)→max
при условии p1x1+p2x2=Q.
Для решения этой задачи применим метод Лагранжа. Выписываем функцию Лагранжа L(x1,x2,λ)= u(x1,x2)+ λ (p1x1+p2x2-Q), находим её частные производные по переменным x1,x2 и λ и приравниваем к нулю:
L 
= u 
+λ p1=0, L 
= u 
+λ p2 =0,
L 
=p1x1+p2x2-Q =0.
Исключив из полученной системы неизвестную λ, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x1, и x2
= 
,p1x1+p2x2=Q.
Решение (х 
, х 
) этой системы есть критическая точка функции Лагранжа. Подставив решение (х , х ) в левую часть равенства
= ,получим, что в точке (х , х ) отношение
предельных полезностей u (х , х ) и u (х , х ) продуктов равно отношению рыночных цен p1и p2 на эти продукты: = . (5.1)В связи с тем, что отношение
равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия (х , х ), из (5.1) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных цен на продукты. Приведённый результат играет важную роль в экономической теории.Геометрически решение (х , х ) можно интерпретировать как точку касания линии безразличия функции полезности u(x1,x2) с бюджетной прямой p1x1+p2x2=Q. Это определяется тем, что отношение
=- 
показывает тангенс угла наклона линии уровня функции полезности, а отношение - представляет тангенс угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора они равны, в этой точке происходит касание данных двух линий.Решим задачу потребительского выбора.
Оптимальный набор потребителя составляет 6 ед. продукта х1 и 8 ед. продукта х2. Определите цены потребляемых благ, если известно, что доход потребителя равен 240 руб. Функция полезности потребителя имеет вид: u(x1,x2)=x 
x 
.
Решение. Следуя принципу решения, получаем систему уравнений:
= , 
= 
, 
= ,p1x1+p2x2=240. p1x1+p2x2=240 . p1x1+p2x2=240 .
Подставив, вместо х1 – 6 ед., вместо х2 – 8 ед., получим: p1=10руб., p2=22.5руб.
3) Общая модель потребительского выбора.
Была рассмотрена модель потребительского выбора с двумя продуктов и её решение с помощью метода множителей Лагранжа. Сейчас рассмотрим свойства задачи потребительского выбора с произвольным числом продуктов и целевой функцией общего вида.
Пусть задана целевая функция предпочтения потребителя u(x1,x2, …,хn), где хi- количество i-го продукта, вектор цен pi=(p1,p2,…,pn) и доход Q. Записав бюджетное ограничение и ограничение на неотрицательность, получаем задачу
u(x)→max (5.2)
при условии px≤Q, x≥0
(здесь x=(x1,x2, …,хn), p=(p1,p2,…,pn), px=(p1x1+…+pnxn)).
Будем считать, что неотрицательность переменных обеспечивается свойствами целевой функции и бюджетного ограничения. В этом случае можно записать функцию Лагранжа и исследовать её на безусловный экстремум.
L(x,λ)= u(x)+ λ (px-Q).
Необходимое условие экстремума – равенство нулю частных производных: L 
=u 
+λpi=0 для всех i 
[1;n] и L =px-Q=0. Отсюда вытекает, что для всех i в точке х рыночного равновесия выполняется равенство
(5.3)
которое получается после перенесения вторых слагаемых, необходимых условий в правую часть и делением i-го равенства на j-ое. Итак, в точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух продуктов равно отношению их рыночных цен. Равенство (5.3) можно переписать и в другой форме:
(5.4)
Это означает, что полезность, приходящаяся на единицу денежных затрат, в точке оптимума одинаковая по всем видам благ. Если бы это было не так, то по крайней мере одну денежную единицу можно было бы перераспределить так, чтобы выросло благосостояние (значение функции полезности) потребителя. Если для некоторых i, j