Некоторые аспекты моделирования конкурентного равновесия (стр. 7 из 9)
Построим отображение S для любого
следующим образом: 
(3.8)где
, 
, 
Как и выше, можно показать, что S есть ограниченное, полунепрерывное сверху множественнозначное отображение из P в
и что множество S(p) непусто, выпукло и замкнуто. Суммируя обе стороны равенства (3.7) по i=1,…, l, получаем 
или
В обозначениях элементов множества S(p) это равенство записывается как
, 
(3.9)Видно, что отображение S, порождающее для каждого
множество (3.8), удовлетворяет всем условиям леммы Гейла. Из этой леммы следует существование таких 
и 
, что 
. Поэтому набор векторов 
, где 
, образует конкурентное равновесие в модели Эрроу-Дебре. Действительно, условие (2.6) выполнено по построению векторов 
и 
; условие (2.7) следует из неравенства 
; условие (2.8) вытекает из (3.9) и, наконец, отображения D и S являются функциями совокупных спроса и предложения в модели Эрроу-Дебре, так как они определены посредством соотношений (3.3) и (3.4) Теорема доказана.В связи с тем, что наиболее жестким из всех условий, определяющих модель Эрроу-Дебре, является У‑6, обсудим одну возможность его ослабления.
Это условие в теореме 3.2 вместе с У‑3, У‑4 и леммой 3.1 обеспечивает непустоту бюджетных множеств
потребителей и полунепрерывность сверху функций их спроса 
. Эти свойства не изменятся, если У‑6 заменить следующими условиями: 
для любого вектора 
, 
и 
, 
. Так как второе из условий не является жестким, то существование конкурентного равновесия, помимо условий У‑1 – У‑5, зависит от наличия положительного дохода у всех потребителей. Очевидно, что это условие слабее, чем У‑6, так как положительный доход у потребителя может существовать и при отсутствии начального запаса товаров (за счет участия в прибыли производственного сектора). Последнее условие выполняется, если хотя бы одно производственное предприятие рентабельно и все потребители участвуют в прибыли производственного сектора (как минимум, не являются безработными). Это условие представляется не столь жестким и, следовательно, существование экономического равновесия – реальным. Однако не следует забывать, что речь идет о моделях рынка, предполагающих выполнение не совсем реальных условий совершенной конкуренции.4. Модель регулирования цен и устойчивость конкурентного равновесия
Доказав существование конкурентного равновесия в математической модели рынка, естественно задаться вопросом: как найти конкурентное равновесие и, прежде всего, равновесные цены? Поиск равновесия, в отличие от ранее рассмотренных вопросов, по существу, является динамическим (развернутым во времени) действием.
Процесс последовательного приближения к равновесной цене называется регулированием цен. Кто и с какой целью регулирует цены? Ответ заключается в том, что, благодаря законам спроса и предложения, в условиях конкуренции рынок сам приспосабливает цены к вариациям спроса и предложения во времени. В начале была обнаружена «геометрическая» картина такого приспособления. Здесь наша задача состоит в обнаружении аналитической формулы регулирования для численного вычисления равновесных цен.
Итеративный процесс поиска равновесных цен должен обладать свойством сходимости, т.е., в конечном счете, должен привести к искомым ценам с любой предзаданной точностью. В этом случае процесс регулирования цен (или собственно конкурентное равновесие) называется устойчивым.
Таким образом, задача регулирования цен преследует цель определения условий, заставляющих цены, как функций времени, сходиться к равновесным значениям. Математически эта задача сводится к нахождению условий устойчивости решений специально построенных рекуррентных по времени уравнений. Такое уравнение называется динамической моделью регулирования цен. Эта модель может быть как непрерывной, так и дискретной. В первом случае, на основе предположения о непрерывном изменении цен, модель выражается с помощью дифференциальных уравнений. Во втором случае предполагается дискретный характер изменения цен, т.е. фиксируется изменение цен в отдельные моменты времени (или через определенные промежутки времени). Поэтому модель регулирования цен имеет вид разностных уравнений. Непрерывные модели предпочтительны в теоретическом плане. Их преимущество состоит в возможности применения удобного аппарата дифференцирования. Будем рассматривать только дискретный случай, наиболее понятный с точки зрения практического восприятия.
Перейдем к конкретным построениям. Для определенности процесс регулирования рассмотрим в модели Эрроу-Дебре. Предварительно уточним некоторые предпосылки и ряд дополнительных сведений.
Во-первых, цены будем снабжать параметром времени t:
– цена k‑го товара в момент t.Во-вторых, будем предполагать дискретное изменение времени, т.е. будем рассматривать отдельные моменты времени t1, t2,… Причем для упрощения формул будем считать, что
. Это дает возможность вместо последовательности 
рассматривать последовательность моментов t, t+1,…, начиная с t = 0.В-третьих, вместо пространства товаров
будем рассматривать пространство 
, где дополнительная n+1‑ая координата соответствует особому виду товара – «деньгам». Таким образом, размерность всех векторов спроса и предложения будет равна n+1. Вектор цен, соответственно, будет задан в пространстве 
. Причем дополнительная n+1 – ая компонента p0 будет интерпретироваться как «цена денег».Для некоторого вектора цен
и соответствующих ему векторов совокупного спроса 
и совокупного предложения 
обозначим 
(4.1)Величина F(p) имеет смысл избыточного спроса при ценах p (противоположная величина
имеет смысл избыточного предложения). Рассматривая эту величину для всех , можно говорить о функции избыточного спроса F, определенной на множестве P.Для равновесного вектора цен имеем (см. (2.7), (2.8))
(4.2) 
(4.3)Если предположить все цены строго положительными, т.е.
, k=0,1,…, n, то равенство (4.3) будет иметь место только в случае строгого равенства в (4.2), т.е.