Моделювання попиту та пропозиції (стр. 3 из 4)

Описаний процес також може бути представлений за допомогою павутиноподібної моделі, причому достатня умова збіжності має вигляд:

(2.7)

що відповідає сильнішій реакції виробників в порівнянні із споживачами. Проілюструємо обговорюваний процес досягнення рівноваги на приклад:

нехай функція пропозиції

S(p)= 4p - 3 (2.8)

а функція попиту

(2.9)

Основне співвідношення має вигляд

(2.10)

Звідси ціна в кожен наступний ринковий день визначається через ціну в попередній день по формулі:

(2.11)

Припустимо, що початкова ціна

і зведемо результати розрахунку в таблицю 1.

Таблиця 1. Збіжність ціни до рівноважної в часі

P	D	S	E=D-S
1,5	6,67	3	3,67
2,42	4,14	6,67	-2,53
1,78	5,61	4,14	1,47
2,15	4,65	5,61	-0,96
1,91	5,23	4,65	0,58
2,06	4,85	5,23	-0,38
1,96	5,10	4,85	0,25
2,02	4,95	5,10	-0,15
1,99	5,02	4,95	0,07
2,01	4,98	5,02	-0,04
2,00	5	4,98	0,02

Таким чином, ми бачимо, що після 11 “ринкових” днів процес встановлення ціни сходиться до стану рівноваги, причому виходить вже відоме нам значення рівноважної ціни

. Відмітимо, що проміжні значення ціни поперемінно стають то більше, то менше рівноважної величини. Це означає, що процес має коливальний характер з амплітудою, що зменшується (мал. 2.1) .[23, ст. 104].

Строго монотонний характер має процес досягнення, відомий під назвою “нащупування”, в якому важливу роль грає зовнішнє (централізоване) регулювання. Ми розглянемо тут одну з моделей такого процесу, яка носить ім'я П.Самуельсона. У цій моделі зміна ціни прямо ставиться в залежність від величини надмірного попиту в торговий день t:

Мал. 2.3. Процес збіжності ціни до рівноважної

(2.12)

При

(попит більше пропозиції) ціна підвищується, інакше знижується. Цей процес сходиться при будь-якому співвідношенні між . Його найбільш поширена інтерпретація полягає в тому, що на ринку є арбітр (аукционер), який оцінює величину залишкового попиту і на підставі цієї оцінки оголошує ціну ( ) наступного дня, а всі учасники процесу неухильно слідують його вказівкам. Споживачі утворюють свій попит відповідно до функції попиту D(p), а виробники забезпечують випуск згідно функції пропозиції S(p). Величина а, яка називається параметром настройки, грає в цій схемі велику роль, оскільки при дуже малих його значеннях процес сходитися дуже поволі, а при дуже великих може і не сходиться до рівноваги.

Продемонструємо хід цього процесу на приведеному вище прикладі, причому покладемо значення параметра а = 0,1.

Основне співвідношення має вигляд

(2.13)

Результати розрахунків з

наведені в таблиці 2.

Таблиця 2. «Нащупування» рівноважної ціни по моделі П.Самуельсона

p	D	S	E=D-S
1,5	6,67	3	3,67
1,87	5,35	4,48	0,87
1,96	5,11	4,83	0,28
1,99	5,03	4,96	0,07
2	5	5	0

2.3 Прогнозування рівноважної ціни

Для аналізу властивостей такого керованого ринкового процесу може бути використана модель в диференціальній формі:

(2.14)

Перебування рівноваги на складному ринку багатьох товарів також може бути визначене за допомогою функцій попиту і пропозиції. Припустимо, що на ринку виступає L різних товарів з номерами l = 1 ..., L. Позначимо через

- систему цін на товари; - функції попиту - функції пропозиції. Тоді рівновагою у вузькому сенсі є стан, при якому реалізується збіг попиту і пропозиції по всіх товарних позиціях:

(2.15)

де

- система рівноважних цін.

Рівновагою в широкому сенсі слід вважати всякий стан, для якого

(2.16)

Властивості стану рівноваги на ринку багатьох товарів багато в чому подібні до такого ж перебування на ринку одного товару. Проте для ретельнішого його вивчення корисно розглянути окремо ринки взаємозамінних і взаимодоповнюючих товарів.У разі ринку взаємозамінних товарів функції попиту задовольняють співвідношенням:

(2.17)

Остання умова означає, що при підвищенні ціни на будь-який товар і незмінності цін на інші товари споживчий сектор знижуватиме свій попит на нього, але одночасно підвищить попит на інших, замінюючі його, товари.

Процес досягнення рівноваги в цьому випадку може бути представлений за допомогою вивчення послідовності “торгових днів”. При цьому вважається, що на початок торгового дня (t+1) відома система цін

яка була сформована раніше і послужила орієнтиром для виробників, що поставляють на ринок товари в кількостях

Протягом торгового дня (t+1) відбувається повний розпродаж товарів і нова система цін

визначається відповідно до функцій попиту. Інакше кажучи, нова система цін знаходиться як вирішення системи рівнянь:

Слід відмітити, що збіжність цього процесу до положення рівноваги забезпечена у тому випадку, коли виконана умова:

(2.18)

де

- матриці Якобі (складені з перших приватних похідних) для функцій пропозиції і попиту відповідно. В ході послідовних обмінів можуть застосовуватися різні способи регулювання, які дозволяють здійснити досягнення рівноваги, якщо збіжність не має місця, або прискорити процес досягнення рівноваги. У більшості випадку причиною незбіжності процесу виявляється дуже висока еластичність пропозиції за ціною, яка обуславливает порушення приведеної вище достатньої умови. Для того, щоб зменшити цю еластичність застосовується “заохочення за недовироблення” зазвичай у формі або прямій компенсації при малому об'ємі виробництва, або шляхом різкого підвищення податків при великих об'ємах виробництва.

Для опису процесу досягнення рівноваги з централізованим регулюванням (“нащупування”) застосовується згадана вище схема, яка для випадку багатьох товарів має вигляд:

(2.19)

Тут

- параметри настройки

(2.20)

Використання знаку max дозволяє уникнути появи негативних значень цін.

У разі взаимодоповнюючих (комплементарних) товарів їх ринки можна розглядати незалежно один від одного. При цьому стан рівноваги з боку попиту значною мірою визначається тим, яку частку свого доходу споживчий сектор виділяє на придбання даного товару, а з боку пропозиції воно залежить від тих об'ємів ресурсів, які можуть бути виділені на виробництво цього продукту.

Таким чином, можна вважати, що функція попиту має вигляд

D = D(p, I) (2.21)

де p - ціна товару;

I - частина доходу споживача, виділена для його придбання, причому справедливі співвідношення

(2.22)

Регулювання об'єму попиту здійснюється шляхом зміни вказаної частки споживчого доходу.

Функція пропозиції виражається таким чином:

S = S(p, Q)

де Q - об'єм ресурсів, що виділяються для регулювання поведінки виробника.

При цьому мають місце нерівності

(2.23)

Виходячи з умови рівноваги:

(2.24)

і співвідношень (*) і (**) отримуємо, що ціна рівноваги

залежить від об'єму ресурсів (Q) і доходу (I) таким чином:

(2.25)