Модель экспертной оценки (стр. 2 из 7)
Нейтральность:
Имена кандидатов не имеют значения. Если мы поменяем местами кандидатов а и b в преимуществе каждого избирателя, то результат голосования изменится соответственно (если раньше выбирался а, то теперь будет выбираться b и наоборот; если выбирался некоторый х, отличающийся от но и b, то он же и будет избран).
Монотонность:
Допустимо, что а выбирается (среди победителей) при данном профиле и профиль изменяется только так, что положение а улучшается, а относительное сравнение пары любых других кандидатов для любого избирателя остается неизменным. Тогда а как и раньше будет избран (опять среди победителей) для нового профиля.
2. Формальная постановка задачи
Приведем еще раз задачу данной курсовой работы: используя профиль преимуществ избирателей, определить единственного победителя из множественного числа заданных. Должна существовать возможность проверки корректности задания профиля. Ограничениями на задачу является отсутствие безразличия и ранжировки кандидатов в строгом порядке. Опишем методы голосования, которые могут использоваться для решения данной задачи и наведем ряд основных определений и теорем.
Правило относительного большинства. Каждый избиратель отдает свои голос наилучшему для себя кандидату. Избирается кандидат, упомянутый в наибольшем количестве бюллетеней. Это правило может противоречить мнению большинства (см. 1, пример 9.1).
Определение 2.1. Правило Борда. Каждый избиратель сообщает свои преимущества, ранжируя р кандидатов от лучшего к хуже (безразличие запрещается). Кандидат не получает очков за последнее место, получает одно очко за предпоследнее и так далее, получает р-1 очков за первое место. Побеждает кандидат с наибольшей суммой очков. Он называется победителем по Борду.
Мы не уточняем, что делать при равенстве очков.
Определение 2.2. Для заданного профиля преимуществ победителем по Кондорсу называется кандидат а, что побеждает любого другого кандидата при парном сравнении по правилу большинства:
для всякого b¹а избирателей, которые считают а лучшим за b, больше, чем тех, кто считает, что b лучшим за а.
Зажиточное по Кондорсу правило выбирает победителя по Кондорсу, если такой существует.
Отсутствие победителя по Кондорсу является знаменитым "парадоксом голосования". Как часто может наблюдаться парадокс голосования? В общем случае вероятность p(p, n) того, что победителя по Кондорсу не существует при р кандидатах и n избирателях, растет по р и растет по числу избирателей от n к n+2. Это может быть проверено на основе вычисления p(п, р)для малых значений n и р, но в общем случае это утверждение остается недоказанным предположением.
Парадокс голосования становится почти достоверным событием, когда число кандидатов становится достаточно большим при фиксированном n. Если число избирателей становится достаточно большим при фиксированном р, то предельная вероятность p(p) может быть оценена по Фишберну [1984]:
которая справедлива с точностью до половины процента при р£50.
Определение 2.3. Правила голосования с подсчетом очков.
Фиксируем последовательность вещественных чисел, которая не спадает
s0£s1£…£sp-1 при s0<sp-1.
Избиратели ранжируют кандидатов, причем s0очков дается за последнее место, s1- за предпоследнее и так далее. Избирается кандидат с максимальной суммой очков.
Определение 2.4. Правило Копленда. Сравним кандидата а с любым другим кандидатом х. Начислим ему +1, если для большинства а лучше за х, -1, если для большинства х лучше за а, и 0 при равенстве. Суммируя общее количество очков по всем х, х¹а,получаем оценку Копленда для а. Избирается кандидат, названный победителем за Коплендом, с наивысшей из таких оценок.
Определение 2.5. Правило Симпсона. Рассмотрим кандидата а, любого другого кандидата х и обозначим через N(а,x) число избирателей, для которых а лучше за х. Оценкой Симпсона для а называется минимальное из чисел N(а,x) по всем х, х¹а. Избирается кандидат, названный победителем по Симпсону, с наивысшей такой оценкой. Оба этих правила зажиточные по Кондорсу.
Оптимальность по Парето. Если кандидат а для всех лучший от кандидата b, то b не может быть избранным.
Анонимность. Имена избирателей не имеют значения: если два избирателя поменяются голосами, то результат выборов не изменится.
Нейтральность. Имена кандидатов не имеют значения. Если мы поменяем местами кандидатов а и b в преимуществе каждого избирателя, то результат голосования изменится соответственно (если раньше выбирался а, то теперь будет выбираться b и наоборот; если выбирался некоторый х, отличающийся от а и b, то он же и будет выбран).
Правила Копленда и Симпсона оптимальные по Парето, анонимные и нейтральные, если мы рассматриваем их как отображения, которые ставят в соответствие каждому профилю преимуществ подмножество победителей. Анонимность и нейтральность очевидны. Проверить, что множественные числа победителей по Борду (Копленду, Симпсону) содержат только оптимальные по Парето результаты, достаточно просто. Да, оценка Симпсона кандидату, что доминируется по Парето, равняется нулю, а для оптимального по Парето кандидата она позитивна.
Монотонность. Допустим, что а выбирается (среди победителей) при данном профиле и профиль изменяется только так, что положение а улучшается, а относительное сравнение пары любых других кандидатов для любого избирателя остается неизменным. Тогда а как и раньше будет избран (опять среди победителей) для нового профиля.
Все правила подсчета очков, а также правила Копленда и Симпсона являются монотонными.
Относительное большинство с выбыванием. В первом раунде каждый избиратель подает один голос за одного кандидата. Если кандидат набирает суровое большинство голосов, то он и избирается. В противном случае во втором туре проводится голосование по правилу большинства с двумя кандидатами, которые набрали наибольшее количество голосов в первом туре.
Сторонники этого метода подтверждают, что он почти так же простой, как и правило относительного большинства (избирателям не нужно сообщать полное ранжирование кандидатов), и исключает расточительные выборы. При обычном правиле относительного большинства, если я голосую за кандидата, который получает маленькую поддержку, то мой голос будет напрасным. Однако при выбывании у меня есть еще один шанс повлиять на результат.
Однако этот метод не является монотонным, как показывают такие два профиля с 17 избирателями:
| Профиль А | Профиль B | ||||||
| 6 | 5 | 4 | 2 | 6 | 5 | 4 | 2 |
| a | c | b | b | a | c | b | a |
| b | a | c | a | b | a | c | b |
| c | b | a | c | c | b | a | c |
При профиле А во второй тур проходять а и b и выигрывает а (11 голосов против 6). Профиль В такой же за одним исключением. У двух избирателей преимущество b>a>с изменяется на преимущество а>b>с, то есть для них теперь а лучше b. Теперь во второй тур проходять а и с, причем выигрывает с (9 голосов против 8). Таким образом, улучшение позиции кандидата а приводит к его поражению!
Метод альтернативных голосов. Исключим сначала тех, кто получил наименьшее количество голосов. Потом посчитаем голоса для кандидатов, которые остались, и опять исключим неудачников. Будем повторять эту операцию до тех пор, пока не останется один кандидат (или множественное число кандидатов с ровным числом голосов).
Здесь главное внимание уделяется потому, чтобы не потерять никаких голосов и каждому дать шанс поддержать кандидата, который нравится больше всего. В этом подходе повторно используются методы подсчета очков для исключения кандидатов-неудачников. К сожалению, любое правило, основанное на последовательном исключении по методу подсчета очков, должно нарушать свойство монотонности для некоторых профилей.
Пополнение (однозначные правила голосования). Две группы избирателей N1, N2, что не пересекаются, имеют дело с тем же множественным числом А кандидатов. Пусть избиратели N1 и N2 выбирают того же кандидата а. Тогда избирателе N1ÈN2также изберут а из А.
Это свойство является очень обоснованным, когда единственный избирательный орган разбит на большое количество подмножеств, как в случае региональных ассамблей и подкомитетов.
Пополнение (отображение голосования). Две группы избирателей N1, N2, что не пересекаются, имеют дело с тем же множественным числом А кандидатов. Пусть избиратели Ni избирают подмножество Вi з А при i=1,2. Если В1 и B2 пересекаются, то избирателе N1ÈN2изберут В1ÇB2как множественное число наилучших для себя результатов.
Теорема 2.1 (Янг [1975])
(а) Все отображения голосования, основанные на подсчете очков (подмножества кандидатов, которые выбирают, с наибольшим суммарным количеством очков), удовлетворяют аксиоме пополнения. Если при равенстве очков выбор проводится на основе фиксированного порядка на А, то соответствующие правила голосования также удовлетворяют аксиоме пополнения.
(b) Не существует зажиточного по Кондорсу правила голосования (или отображение голосования), которое бы удовлетворяло аксиоме пополнения.
Аксиома участия. Пусть кандидат а выбирается из множественного числа А избирателями из N. Рассмотрим дальше избирателя и за N. Тогда избиратели из NÈ{i} должны избрать или а, или кандидата, что для агента I и строго лучше а.