Моделирование систем массового обслуживания (стр. 7 из 13)
а вероятность р1(t) в то же время увеличивается от 0, стремясь в пределе при t→∞ к величине
Эти пределы вероятностей могут быть получены непосредственно из уравнений Колмогорова при условии
Функции р0(t) и р1(t) определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному состоянию с постоянной времени
характерной для рассматриваемой системы.С достаточной для практики точностью можно считать, что переходный процесс в СМО заканчивается в течение времени, равно 3τ.
Вероятность р0(t) определяет относительную пропускную способность СМО, которая определяет долю обслуживаемых заявок по отношению к полному числу поступающих заявок, в единицу времени.
Действительно, р0(t) есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет принята к обслуживанию. Всего в единицу времени приходит в среднем λ заявок и из них обслуживается λр0 заявок.
Тогда доля обслуживаемых заявок по отношению ко всему потоку заявок определятся величиной
В пределе при t→∞ практически уже при t>3τ значение относительной пропускной способности будет равно
Абсолютная пропускная способность, определяющая число заявок, обслуживаемых в единицу времени в пределе при t→∞, равна:
Соответственно доля заявок, получивших отказ, составляет в этих же предельных условиях:
а общее число не обслуженных заявок равно
Примерами одноканальных СМО с отказами в обслуживании являются: стол заказов в магазине, диспетчерская автотранспортного предприятия, контора склада, офис управления коммерческой фирмы, с которыми устанавливается связь по телефону.
3.2 Многоканальная СМО с отказами в обслуживании
В коммерческой деятельности примерами многоканальных СМО являются офисы коммерческих предприятий с несколькими телефонными каналами, бесплатная справочная служба по наличию в авто магазинах самых дешевых автомобилей в Москве имеет 7 телефонных номеров, а дозвониться и получить справку, как известно, очень трудно.
Следовательно, авто магазины теряют клиентов, возможность увеличить количество проданных автомобилей и выручку от продаж, товарооборот, прибыль.
Туристические фирмы по продаже путевок имеют два, три, четыре и более каналов, как, например, фирма Express-Line.
Рассмотрим многоканальную СМО с отказами в обслуживании на рис. 3.2, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ.
λ λ
λ λ λ   S0 |
| S1 |
 Sk |
| Sn |
μ 2μkμ (k+1)μ nμ
Рис. 3.2. Размеченный граф состояний многоканальной СМО с отказами
Поток обслуживания в каждом канале имеет интенсивность μ. По числу заявок СМО определяются ее состояния Sk, представленные в виде размеченного графа:
S0 – все каналы свободны k=0,
S1 – занят только один канал, k=1,
S2 – заняты только два канала, k=2,
Sk – заняты k каналов,
Sn – заняты все n каналов, k= n.
Состояния многоканальной СМО меняются скачкообразно в случайные моменты времени. Переход из одного состояния, например S0 в S1, происходит под воздействием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратно – под воздействием потока обслуживания заявок с интенсивностью μ. Для перехода системы из состояния Skв Sk-1 безразлично, какой именно из каналов освободиться, поэтому поток событий, переводящий СМО, имеет интенсивность kμ, следовательно, поток событий, переводящий систему из Snв Sn-1, имеет интенсивность nμ. Так формулируется классическая задача Эрланга, названная по имени датского инженера – математика- основателя теории массового обслуживания.
Случайный процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса «рождения- гибели» и описывается системой дифференциальных уравнений Эрланга, которые позволяют получить выражения для предельных вероятностей состояния рассматриваемой системы, называемые формулами Эрланга:
.Вычислив все вероятности состояний n – канальной СМО с отказами р0 , р1, р2, …,рk,…, рn, можно найти характеристики системы обслуживания.
Вероятность отказа в обслуживании определяется вероятностью того, что поступившая заявка на обслуживание найдет все n каналов занятыми, система будет находиться в состоянии Sn:
k=n.В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому
Ротк+Робс=1
На этом основании относительная пропускная способность опредляется по формуле
Q = Pобс= 1-Ротк=1-Рn
Абсолютную пропускную способность СМО можно определить по формуле
А=λ*Робс
Вероятность обслуживания, или доля обслуженных заявок, определяет относительную пропускную способность СМО, которая может быть определена и по другой формуле:
Из этого выражения можно определить среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, или, что же самое, среднее число занятых обслуживанием каналов
Коэффициент занятости каналов обслуживанием определятся отношением среднего числа занятых каналов к их общему числу
Вероятность занятости каналов обслуживанием, которая учитывает среднее время занятости tзан и простоя tпр каналов, определяется следующим образом:
Из этого выражения можно определить среднее время простоя каналов
Среднее время пребывания заявки в системе в установившемся режиме определятся формулой Литтла
Тсмо= nз/λ.
3.3 Модель многофазной системы обслуживания туристов
В реальной жизни система обслуживания туристов выглядит значительно сложнее, поэтому необходимо детализировать постановку задачи, учитывая запросы, требования как со стороны клиентов, так и турфирмы.
Для увеличения эффективности работы турфирмы необходимо смоделировать в целом поведение потенциального клиента от начала операции до ее завершения. Структура взаимосвязи основных систем массового обслуживания фактически состоит из СМО разного вида (рис. 3.3).
Поиск Выбор Выбор Решение
| СМОффирма |
| СМОрреферент |
поиск фирмы тура по туру  | | | |
Оплата Перелет Исход