Моделирование систем массового обслуживания (стр. 11 из 13)
с неограниченной очередью
для которого и определим выражения для предельных вероятностей состояний:
…; 
Поскольку отказа в обслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускной способности равны:
среднее число заявок в очереди –
среднее время ожидания в очереди –
среднее число заявок в СМО –
Вероятность того, что СМО находится в состоянии
, когда нет заявок и не занято ни одного канала, определяется выражением 
Эта вероятность определяет среднюю долю времени простоя канала обслуживания. Вероятность занятости обслуживанием k заявок –
На этом основании можно определить вероятность, или долю времени занятости всех каналов обслуживанием
Если же все каналы уже заняты обслуживанием, то вероятность состояния определяется выражением
Вероятность оказаться в очереди равна вероятности застать все каналы уже занятыми обслуживанием
Среднее число заявок, находящихся в очереди и ожидающих обслуживания, равно:
Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла:
и в системе 
среднее число занятых каналов обслуживанием:
;среднее число свободных каналов:
;коэффициент занятости каналов обслуживанием:
Важно заметить, что параметр характеризует степень согласования входного потока, например покупателей в магазине с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при
Если же 
в системе будут возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателями начала обслуживания и, следовательно, СМО будет работать неустойчиво.3.8 Анализ системы массового обслуживания супермаркета
Одной из важных задач коммерческой деятельности является рациональная организация торгово-технологического процесса массового обслуживания, например в универсаме. В частности, определение мощности кассового узла торгового предприятия является непростой задачей. Такие экономико-организационные показатели, как нагрузка товарооборота на 1м2 торговой площади, пропускная способность предприятия, время пребывания покупателей в магазине, а также показатели уровня технологического решения торгового зала: соотношение площадей зон самообслуживания и расчетного узла, коэффициенты установочной и выставочной площадей, во многом определяются пропускной способностью кассового узла. В этом случае пропускную способность двух зон (фаз) обслуживания: зоны самообслуживания и зоны расчетного узла (рис.4.1).
 | СМО  |  | СМО  |  |
- интенсивность входного потока покупателей; 
- интенсивность прихода покупателей зоны самообслуживания; 
- интенсивность прихода покупателей в расчетный узел; 
- интенсивность потока обслуживания.Рис.4.1. Модель двухфазной СМО торгового зала универсама
Основная функция расчетного узла состоит в обеспечении высокой пропускной способности покупателей в торговом зале и создании комфортного обслуживания покупателей. Факторы, влияющие на пропускную способность расчетного узла, можно разделить на две группы:
1) экономико-организационные факторы: система материальной ответственности в универсаме; средняя стоимость и структура одной покупки;
2) организационная структура кассового узла;
3) технико-технологические факторы: применяемые типы кассовых аппаратов и кассовых кабин; применяемая контролером-кассиром технология обслуживания покупателей; соответствие мощности кассового узла интенсивности покупательских потоков.
Из перечисленных групп факторов наибольшее влияние оказывают организационное построение кассового узла и соответствие мощности кассового узла интенсивности покупательских потоков.
Рассмотрим обе фазы системы обслуживания:
1) выбор покупателями товаров в зоне самообслуживания;
2) обслуживание покупателей в зоне расчетного узла. Входящий поток покупателей попадает в фазу самообслуживания, и покупатель самостоятельно отбирает нужные ему товарные единицы, формируя их в единую покупку. Причем время этой фазы зависит от того, как взаиморазмещены товарные зоны, какой фронт они имеют, сколько времени тратит покупатель на выбор конкретного товара, какова структура покупки и т.д.
Выходящий поток покупателей из зоны самообслуживания
одновременно является входящим потоком в зону кассового узла, который последовательно включает ожидание покупателя в очереди и затем обслуживание его контролером-кассиром. Кассовый узел можно рассматривать как систему обслуживания с потерями или как систему обслуживания с ожиданием.Однако ни первая, ни вторая рассмотренные системы не позволяют реально описать процесс обслуживания в кассовом узле универсама по следующим причинам:
в первом варианте кассовый узел, мощность которого будет рассчитана на систему с потерями, требует значительных как капитальных вложений, так и текущих затрат на содержание контролеров-кассиров;
во втором варианте кассовый узел, мощность которого будет рассчитана на систему с ожиданиями, приводит к большим затратам времени покупателей в ожидании обслуживания. При этом в часы пик зона расчетного узла «переполняется» и очередь покупателей «перетекает» в зону самообслуживания, что нарушает нормальные условия для выбора товара другими покупателями.
В связи с этим целесообразно рассматривать вторую фазу обслуживания как систему с ограниченной очереди, промежуточную между системой с ожиданием и системой с потерями. При этом предполагается, что одновременно в системе могут находиться не более L, причем L=n+m, где n-количество обслуживаемых клиентов в кассах, m-количество покупателей, стоящих в очереди, причем любая m+1- заявка покидает систему необслуженной.
Это условие позволяет, с одной стороны, ограничить площадь зоны расчетного узла с учетом максимально допустимой длины очереди, а с другой – ввести ограничение на время ожидания покупателями обслуживания в кассовом узле, т.е. учитывать издержки потребления покупателей.