Методы и модели в экономике (стр. 1 из 3)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО Омский государственный технический университет

Кафедра «Экономика и организация труда»

Контрольная раБОтА

по дисциплине «Методы и модели в экономике»

Вариант 28

Выполнил:

студент гр. ЗУТ-217

Чупраков Д. А.

Проверила:

__________ Е. Н. Казанцева

«___» ___________ 2009 г.

Омск 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача №1

1. Составить математическую модель задачи.

Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.

Магазины Склады	№1	№2
№1	20 руб.	45 руб.
№2	30 руб.	20 руб.
№3	40 руб.	35 руб.

Составить наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических способов, чтобы получить максимум прибыли?

Решение

Введем переменные

, представляющие собой количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.

Поскольку суммарные запасы

= 65 (т) и суммарные потребности = 60 (т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт потребления . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).

Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы

Пунктыпроизводства, i	Пункты потребления, j			Объем производства
	1	2	3
1	20	45	0	15
2	30	20	0	20
3	40	35	0	30
Объем потребления (спрос)	25	35	5	65

Зададим целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной задачи.

Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).

Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Пунктыпроизводства, i	Пункты потребления, j			Объем производства
	1	2	3
1	2015	45-	0-	15/0
2	3010	2010	0-	20/10/0
3	40-	3525	05	30/5/0
Объем потребления	25/10/0	35/25/0	5/0	65

Опорный план

, найденный методом северо-западного угла имеет вид:

(т) или = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).

Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид:

(руб.).

Итерация 1.

Шаг 1.1. Вычисление потенциалов

2015	45-	0-	u1=0
3010	2010	0-	u2=-10
	40-	3525	05	u3=-25
v1=20	v2=10	v3=-25

Система для плана

имеет вид:

Полагая u₁=0, находим значения всех потенциалов: v₁=20, v₂=10, u₂=-10, v₃= - 25, u₃= - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).

Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок

.

0	-35	-25	u1=0
0	0	-15	u2=-10
∆1=	10	-10	-5	u3=-25
v1=20	v2=10	v3=-25

Так как имеются

>0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок.

соответствует клетка К₃₁.

-30 10	+20 10
∆1=	+40-	-3525

Θ =

= 10. Составим новый план перевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1. Вычисление потенциалов

2015	45-	0-	u1=0
30-	2020	0-	u2=-5
	4010	3515	05	u3=-20
v1=20	v2=15	v3=-20

Система для плана

имеет вид:

Полагая u₁=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).

Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок

.

0	-35	-20	u1=0
-5	0	-15	u2=-5
∆1=	0	0	0	u3=-20
v1=20	v2=15	v3=-20

Так как все оценки

≤0, следовательно, план - оптимальный.

Х _оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции:

(руб.).

Ответ: Х _оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.

Задача №2

2. Решить графически задачу: найти экстремумы функции

, если , .

Решить симплекс-методом

РЕШЕНИЕ

а) Решим задачу графически при

z = 3x₁ – 2x₂ → max

, .

Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.1).

Рис.1. Графическое решение задачи при z = 3x₁ – 2x₂ → max

Строим вектор

из точки (0;0) в точку (3; -2). Точка Е (7;0) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка максимума целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:

.

б) Решим задачу графически при

z = 3x₁ – 2x₂ → min

, .

Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2).