Методы безусловной многомерной оптимизации (стр. 3 из 6)
 |
3.2 Метод Брауна
Также считается адаптивным алгоритмом прогнозирования, и в основном используется при краткосрочном прогнозировании.
,где k – количество шагов прогнозирования (k=1).
Это значение сравнивается с фактическим уровнем
,который затем используется для корректировки модели.
, 
,где
– коэффициент дисконтирования данных, отражает большую степень доверия к более поздним данным, 
.Решение:
Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам (они представлены в таблице 3.5) по формулам:
, 
Таблица 3.5
 |  |  |  |
| 1 | 50,0 | 5,6 | 4 |
| 2 | 53.0 | -0,2 | 1 |
| 3 | 56,5 | 0,0 | 0 |
| 4 | 53,5 | 0,7 | 1 |
| 5 | 51,0 | -3,6 | 4 |
 | 2,5 | 10 |
Для расчета этой таблицы нам понадобилось
и 
.Результаты моделирования по методу Брауна представлены в таблице 3.6.
Таблица 3.6
| | |  |  |  |  |
| 0 | 0,250 | 52,050 | |||
| 1 | 50,0 | -0,578 | 51,472 | 52,300 | -2,300 |
| 2 | 53,0 | 0,180 | 51,652 | 50,894 | 2,106 |
| 3 | 56,5 | 1,861 | 53,513 | 51,832 | 4,668 |
| 4 | 53,5 | 1,186 | 54,699 | 55,373 | -1,873 |
| 5 | 51,0 | -0,572 | 54,126 | 55,885 | -4,885 |
| 6 | 54,0 | -0,412 | 53,715 | 53,554 | 0,446 |
| 7 | 53,5 | -0,341 | 53,374 | 53,303 | 0,197 |
| 8 | 60,0 | 2,167 | 55,541 | 53,033 | 6,967 |
| 9 | 59,0 | 2,632 | 58,173 | 57,708 | 1,292 |
| 10 | 60,0 | 2,342 | 60,516 | 60,806 | -0,806 |
| 11 | 61,0 | 1,673 | 62,189 | 62,858 | -1,858 |
| 12 | 62,0 | 1,003 | 63,192 | 63,862 | -1,862 |
| 13 | 58,0 | -1,227 | 61,965 | 64,195 | -6,195 |
| 14 | 57,0 | -2,573 | 59,392 | 60,738 | -3,738 |
| 15 | 57,5 | -2,328 | 57,064 | 56,819 | 0,681 |
| 16 | 59,5 | -0,613 | 56,451 | 54,737 | 4,763 |
| 17 | 60,5 | 1,065 | 57,517 | 55,839 | 4,661 |
| 18 | 61,0 | 1,936 | 59,452 | 58,582 | 2,418 |
| 19 | 62,0 | 2,156 | 61,608 | 61,388 | 0,612 |
| 20 | 62,5 | 1,701 | 63,309 | 63,764 | -1,264 |
| 21 | 65,010 | ||||
| 22 | 66,711 | ||||
| 23 | 68,412 | ||||
| 24 | 70,112 |
Для осуществления прогноза на несколько точек вперед рассмотрели полученную на последнем шаге модель
Прогнозные оценки по этой модели получаются подстановкой в нее значений
, таким образом: 
, 
, 
, 
.На основе полученных данных построим график прогнозирования по адаптивной модели Брауна (рисунок 3)
Рисунок 3
Оценим адекватность модели с помощью коэффициента детерминации. Для этого рассчитаем
,остальные расчеты представлены в таблице 3.7.
Таблица 3.7
 |  |  |
| 50 | 5,290 | 57,381 |
| 53 | 4,435 | 20,931 |
| 56,5 | 21,787 | 1,156 |
| 53,5 | 3,509 | 16,606 |
| 51 | 23,863 | 43,231 |
| 54 | 0,199 | 12,781 |
| 53,5 | 0,039 | 16,606 |
| 60 | 48,541 | 5,881 |
| 59 | 1,668 | 2,031 |
| 60 | 0,649 | 5,881 |
| 61 | 3,452 | 11,731 |
| 62 | 3,469 | 19,581 |
| 58 | 38,377 | 0,181 |
| 57 | 13,969 | 0,331 |
| 57,5 | 0,463 | 0,006 |
| 59,5 | 22,690 | 3,706 |
| 60,5 | 21,729 | 8,556 |
| 61 | 5,847 | 11,731 |
| 62 | 0,374 | 19,581 |
| 62,5 | 1,599 | 24,256 |
 | 221,950 | 282,138 |
Коэффициент детерминации находится по формуле:
 |
Вывод: Сравнивая коэффициенты детерминации по методам Хемминга и Брауна, равные 0,937 и 0,213 соответственно, делаем вывод что модель Хемминга является наиболее адекватной.
4 Идентификация как функция управления
В таблице 4.1 приведены данные о стоимости эксплуатации винтовых самолетов в зависимости от возраста:
Таблица 4.1
| Возраст | Стоимость |
| 1,0 | 466 |
| 1,0 | 549 |
| 1,0 | 978 |
| 4,0 | 495 |
| 4,0 | 723 |
| 4,0 | 681 |
| 4,5 | 619 |
| 4,5 | 1049 |
| 4,5 | 1033 |
| 5,0 | 163 |
| 5,0 | 182 |
| 5,0 | 890 |
| 5,0 | 1522 |
| 5,0 | 1194 |
| 5,5 | 987 |
| 6,0 | 764 |
| 6,0 | 1373 |
1. Провести процедуру структурно-параметрической идентификации математической модели для исходных данных. Оценить адекватность.
2. Проанализируйте данные, исключив повторы. Ответьте на вопросы: изменилось ли математическая модель? Как изменился коэффициент детерминации? Адекватна ли подобранная модель данным?
Решение:
Построим график эмпирических данных (рисунок 4).
Рисунок 4- График эмпирических данных
Проведем все необходимые расчеты для составления статистического уравнения однофакторной зависимости и дальнейшего анализа этой зависимости. Для этого рассмотрим три модели:
прямая однофакторная линейная связь при одновременном увеличении факторного и результативного признаков;
логарифмическая модель (прямая гипербола, когда уровень результативного признака возрастает, а затем его рост приостанавливается, оставаясь почти на одном уровне);
прямая логическая зависимость (когда происходит неустойчивое возрастание уровня результативного признака).
Линейная модель.
Уравнение модели прямой однофакторной линейной связи:
Для вычисления параметра
, составления уравнения однофакторной зависимости и дальнейшего анализа этой зависимости заполним таблицу 4.2.Таблица 4.2
 |  |  |  |  |  |
| 1,0 | 466 | 0,0 | 0,000 | 0,000 | 466,000 |
| 1,0 | 549 | 0,0 | 0,178 | 0,000 | 466,000 |
| 1,0 | 978 | 0,0 | 1,099 | 0,000 | 466,000 |
| 4,0 | 495 | 3,0 | 0,062 | 0,685 | 785,222 |
| 4,0 | 723 | 3,0 | 0,552 | 0,685 | 785,222 |
| 4,0 | 681 | 3,0 | 0,461 | 0,685 | 785,222 |
| 4,5 | 619 | 3,5 | 0,328 | 0,799 | 838,426 |
| 4,5 | 1049 | 3,5 | 1,251 | 0,799 | 838,426 |
| 4,5 | 1033 | 3,5 | 1,217 | 0,799 | 838,426 |
| 5,0 | 163 | 4,0 | -0,650 | 0,913 | 891,630 |
| 5,0 | 182 | 4,0 | -0,609 | 0,913 | 891,630 |
| 5,0 | 890 | 4,0 | 0,910 | 0,913 | 891,630 |
| 5,0 | 1522 | 4,0 | 2,266 | 0,913 | 891,630 |
| 5,0 | 1194 | 4,0 | 1,562 | 0,913 | 891,630 |
| 5,5 | 987 | 4,5 | 1,118 | 1,028 | 944,833 |
| 6,0 | 764 | 5,0 | 0,639 | 1,142 | 998,037 |
| 6,0 | 1373 | 5,0 | 1,946 | 1,142 | 998,037 |
 | 54,0 | 12,330 | |||
Примечание. Предпоследний и последний столбцы таблицы 4.2 заполняются после отыскания параметра уравнения зависимости
и составления самого уравнения зависимости.