Метод потенциалов для решения транспортной задачи в матричной форме. Задача оптимального распределения ресурсов (стр. 2 из 4)

Введем функцию q = –f = –x₁ – 2x₂ +3х₃

От ограничений неравенств переходим к ограничениям-равенствам, введя новые переменные х₄ и х₅:

х₄ = 2x₁ – 3x₂ + 3х₃ – 10; х₅ = –x₁ + 3x₂ – 4х₃ + 30.

Получим следующую основную задачу линейного программирования:

x₁ + x₂ + х₃ = 25

х₄ = 2x₁ – 3x₂ + 3х₃ – 10

х₅ = –x₁ + 3x₂ – 4х₃ + 30

q = –x₁ – 2x₂ +3х₃ → min

Выразим из 1-го уравнения х₁ через другие неизвестные и подставим это его выражение в другие уравнения, а также в уравнение для функции q. Получим:

x₁ = –x₂ – х₃ + 25

х₄ = –2x₂ – 2x₃ + 50 –3х₂ + 3х₃ – 10

х₅ = х₂ + x₃ – 25 + 3х₂ – 4x₃ + 30

q = x₂ + х₃ – 25 + 2х₂ + 3x₃

x₁ = –x₂ – х₃ + 25 (1)

х₄ = –5x₂ + х₃ + 40 (2)

х₅ = 4х₂ – 3x₃ + 5 (3)

q = –x₂ + 4х₃ – 25 (4)

Выразим х₂ из второго ограничения и подставим его выражение в первое и третье ограничения, а также в выражение для целевой функции:

5x₂ = х₃ – х₄ + 40

х₂ = 0,2х₃ – 0,2х₄ + 8

x₁ = –0,2x₃ + 0,2х₄ – 8 –x₃ + 25

х₂ = 0,2х₃ – 0,2х₄ + 8

х₅ = 0,8х₃ – 0,8x₄ + 32 –3x₃ + 5

q = –0,2x₃ + 0,2х₄ – 8 + 4х₃ – 25

x₁ = –1,2x₃ + 0,2х₄ + 17

х₂ = 0,2х₃ – 0,2х₄ + 8

х₅ = –2,2х₃ – 0,8x₄ + 37

q = 3,8x₃ + 0,2х₄ – 33

В выражении для функции q оба неизвестных входят со знаком «+». Поэтому можно утверждать, что найден оптимальный план: х₃ = х₄ = 0. Подставив эти значения в последнюю систему ограничений, получим и остальные неизвестные:

х₁ = 17; х₂ = 8; х₅ = 37;

Оптимальное значение функции q = – 33, следовательно

f(x) = 33 млрд.руб.

Ответ: f(x) = 33 млрд.руб.

Задача №4

Метод динамического программирования для выбора оптимального профиля пути.

Задание:

Требуется найти оптимальную трассу участка железнодорожного пути между пунктами А и В, из которых второй лежит к северо-востоку от первого. Местность, по которой пройдет магистраль, является пересеченной и включает лесистые зоны, холмы, болота, реку. Поэтому стоимость строительства равных по длине участков пути может быть различной. Требуется так провести дорогу из А в В, чтобы суммарные затраты на сооружение участка были минимальны.

План прокладки пути разобьем на ряд возможных шагов, на каждом из которых стоимость строительства известна. Каждый шаг строительства является прокладкой пути между двумя рядом расположенными узлами. Все узлы пронумерованы, и в соответствии с номером варианта дана стоимость сооружения элемента пути между узлами.

Исходные данные – (вариант 67).

Решение:

Задачу решаем методом динамического программирования, последовательно двигаясь от конца трассы к ее началу, при этом на каждом шаге процесса выбирая то направление трассы, которое дает меньшую стоимость ее строительства от рассматриваемого пункта до пункта В (рис. 2).

Рис. 2

Ответ: Минимальные затраты на сооружение участка А – В составят W = 131 ден.ед.

Задача №5

Задача оптимального распределения ресурсов.

Задание (вариант 67):

Предприятие имеет свободных К млрд. руб. средств, которые оно может вложить в пять различных производственных программ. При этом прибыль от каждой из программ зависит от объема инвестиций. Эти зависимости f_i известны и имеют следующий вид:

f(х) = bx – ax²

и конкретно:

f₁(х₁) = 0,18x₁ – 0,05x₁²;

f₂(х₂) = 0,16x₂ – 0,04x₂²;

f₃(х₃) = 0,14x₃ – 0,02x₃²;

f₄(х₄) = 0,12x₄ – 0,02x₄²;

f₅(х₅) = 0,1x₅ – 0,01x₅² млрд.руб.

где х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ – инвестиции в программы, млрд.руб. Их общий объем равен К = 8,5 млрд.руб.

Требуется найти неотрицательные объемы инвестиций х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ соответствующие наибольшей общей прибыли

П = f₁(х₁) + f₂(х₂) + f₃(х₃) + f₄(х₄) + f₅(х₅).

Решение:

Возможны следующие варианты:

1) Все средства передаются первой программе;

2) Средства распределяются между первой и второй программами;

3) Средства распределяются между первой, второй и третьей программами;

4) Средства распределяются между первой, второй, третьей и четвертой программами;

5) Средства распределяются между первой, второй, третьей, четвертой и пятой программами.

Рассмотрим все 5 вариантов.

1) К₁ = х₁ = 8,5

П₁ = f₁(х₁) = 0,18 8,5 – 0,05 8,5² = – 2,08 млрд.руб. < 0, следов–но убыток.

2) К₂ = х₁ + х₂

П₂ = f₁(х₁) + f₂(х₂)

0,18 – 2 0,05х₁ = 0,16 – 2 0,04х₂

х₁ + х₂ = 8,5

0,1х₁ – 0,08х₂ = 0,02

х₁ = 8,5 – х₂

0,1 (8,5 – х₂) – 0,08х₂ = 0,02

0,85 – 0,1х₂ – 0,08х₂ = 0,02

0,85 – 0,18х₂ = 0,02

0,18х₂ = 0,83

х₂ = 4,61

х₁ = 8,5 – 4,61 = 3,89

П₂ = 0,18 · 3,89 – 0,05 3,89² + 0,16 4,61 – 0,04 4,61² = 0,7 – 0,757 + 0,738 – 0,85 = – 0,169 млрд.руб. < 0, следов–но убыток.

3) К₃ = х₁ + х₂ + х₃

П₃ = f₁(х₁) + f₂(х₂) + f₃(х₃)

0,18 – 0,1х₁ = 0,16 – 0,08х₂

0,16 – 0,08х₂ = 0,14 – 2 · 0,02х₃

х₁ + х₂ + х₃ = 8,5

0,18 – 0,1х₁ = 0,16 – 0,08х₂

0,16 – 0,08х₂ = 0,14 – 0,04х₃

х₁ + х₂ + х₃ = 8,5

0,1х₁ – 0,08х₂ = 0,18 – 0,16 · 50

0,08х₂ – 0,04х₃ = 0,16 – 0,14

х₁ + х₂ + х₃ = 8,5

5х₁ – 4х₂ = 1 (1)

4х₂ – 2х₃ = 1 (2)

х₁ + х₂ + х₃ = 8,5 (3)

Из 2 – го ур – ия: х₃ = 2х₂ – 0,5

5х₁ – 4х₂ = 1

х₁ + х₂ + 2х₂ – 0,5 = 8,5

5х₁ – 4х₂ = 1 (1)

х₁ + 3х₂ = 9 (2)

Из 2 – го ур – ия: х₁ = 9 – 3х₂

5 (9 – 3х₂) – 4х₂ = 1

45 – 15х₂ – 4х₂ = 1

19х₂ = 44

х₁ = 9 – 3 · 2,316 = 2,052

х₃ = 2 · 2,316 – 0,5 = 4,132

П₃ = 0,18 · 2,052 – 0,05 · 2,052² + 0,16 · 2,316 – 0,04 · 2,316² + 0,14 · 4,132 – 0,02 · 4,132² = 0,369 – 0,21 + 0,37 – 0,215 + 0,578 – 0,34 = 0,552 млрд.руб.

4) К₄ = х₁ + х₂ + х₃ + х₄

П₄ = f₁(х₁) + f₂(х₂) + f₃(х₃) + f₄(х₄)

0,18 – 0,1х₁ = 0,16 – 0,08х₂

0,16 – 0,08х₂ = 0,14 – 0,04х₃

0,14 – 0,04х₃ = 0,12 – 0,04х₄

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 8,5

0,1х₁ – 0,08х₂ = 0,18 – 0,16

0,08х₂ – 0,04х₃ = 0,16 – 0,14 · 50

0,04х₃ – 0,04х₄ = 0,14 – 0,12

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 8,5

5х₁ – 4х₂ = 1 (1)

4х₂ – 2х₃ = 1 (2)

2х₃ – 2х₄ = 1 (3)

х₁ + х₂ + х₃ +х₄ = 8,5 (4)

Из 3 – го ур – ия: х₄ = х₃ – 0,5

5х₁ – 4х₂ = 1

4х₂ – 2х₃ = 1

х₁ + х₂ + х₃ + х₃ – 0,5 = 8,5

5х₁ – 4х₂ = 1 (1)

4х₂ – 2х₃ = 1 (2)

х₁ + х₂ + 2х₃ = 9 (3)

Из 2 – го ур – ия: х₃ = 2х₂ – 1

5х₁ – 4х₂ = 1

х₁ + х₂ + 2 (2х₂ – 1) = 9

5х₁ – 4х₂ = 1

х₁ + х₂ + 4х₂ – 2 = 9

5х₁ – 4х₂ = 1 (1)

х₁ + 5х₂ = 11 (2)

Из 2 – го ур – ия: х₁ = 11 – 5х₂

5 (11 – 5х₂) – 4х₂ = 1

55 – 25х₂ – 4х₂ =1

29х₂ = 54

х₂ = 1,862

х₁ = 11 – 5 1,862 = 1,69

х₃ = 2 · 1,862 – 1 = 2,724

х₄ = 2,724 – 0,5 = 2,224

П₄ = 0,18 1,69 – 0,05 1,69² + 0,16 1,862 – 0,04 1,862² + 0,14 2,724 – 0,02·2,724² + 0,12 2,224 – 0,02 2,224² = 0,3 – 0,143 + 0,298 – 0,139 + 0,381 – 0,148 + 0,267 – 0,1 = 0,716 млрд.руб.

5) К₅ = х₁ + х₂ + х₃ + х₄ +х₅

П₅ = f₁(х₁) + f₂(х₂) + f₃(х₃) + f₄(х₄) + f₅(х₅)

0,18 – 0,1х₁ = 0,16 – 0,08х₂