Исследование моделей (стр. 2 из 3)

А= n ∑ у ∙100

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

∑(у-у)²= ∑(ỹх-у)² + ∑(у-ỹх)²,

где ∑(у-у)² общая сумма квадратов отклонений;

∑(ỹх-у)² сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией

∑(у-ỹх)² остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R²:

∑(ỹx-y)²

R²= ∑(y-y)²

Коэффициент детерминации- квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F-mecm-оценивание качества уровнения регрессии- состоит в проверке гипотезы Ноо статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического

Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений Fкритерия Фишера. Fфакт-

определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсией, рассчитанных на одну степень свободы:

∑(ỹx-y)²/mr²xy

Fфакт== (n-2)

∑(y-ỹ)²/(n-m-1) 1-r²xy

n- число едениц совокупности;

m- число параметров при переменных х.

Fтабл- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а

Уровень значимости а вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл< Fфакт то Но – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл>Fфакт , то гипотеза Но не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

УСЛОВИЕ

По пяти городам известны значения 2х признаков: табл.№1

город	Средний доход сельхоз-хозяйств в %	Средний прирост КРС
Красноярск	72,8	47,1
Брянск	63,2	59,2
Армавир	61,9	50,2
Ростов	58,7	63,8
Киев	57,0	60,8

Требуется:

1) для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций (линейной, степенной, показательной, равносторонней гиперболы).

2) оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А и F- критерии Фишера.

ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ

Для расчета параметров а и b линейной регрессии у=а+b∙x ,решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

n∙a+b∙∑x=∑y

yx- y∙x

a∙∑x+b∙∑x²=∑y∙x получаем b= σ²x

табл.№2

№п/п	у	х	ух	x²	y²	ŷx	у – ŷx	Аi
1	72,8	47,1	3428,88	2218,41	5299,84	68,87	3,93	5,30
2	63,2	59,2	3741,44	3504,64	3994,24	60,64	2,56	4,04
3	61,9	50,2	3107,38	2520,04	3831,61	66,76	-4,9	7,80
4	58,7	63,8	3745,06	4070,44	3445,69	57,51	1,13	1,90
5	57,0	60,8	3465,6	3696,64	3249	59,55	-2,55	4,47
Итого	313,6	281,1	17488,36	16010,17	19820,38	23,51
Среднее значение	62,72	56,22	3497,672	3202,034	3964,076	4,7
σ	5,5025	6,43
σ²	30,2776	41,34

Дисперсия получается, по формуле

σy²=n∑(yi-y)²

σy²=3964.076-62.72²=30.2776

σх²=3202.034-56.22²=41.3456

ух-у∙х

b= σ²x =(3497,672-62,72∙56,22)/41,3456=0,68

а= у-b∙x=62,72+0,68∙56,22=100,9

уравнение регрессии ŷ=100,9-0,68х

ŷ1=100,9-0,68∙47,1=68,87

ŷ2=100,9-0,68∙59,2=60,64

ŷ3=100,9-0,68*50,2=66,76

ŷ4=100,9-0,68*63,8=57,51

ŷ5=100,9-0,68*60,8=59,55

Считаем линейный коэффициент парной корреляции

rху=b∙σx ∕ σy=0,68*6,43/5,5025=0,79 следовательно, связь сильная прямая

rху²=0.79²=0.62- коэффициент детерминации

Вариация результата на 62% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения ŷx и занесем их в таблицу. Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

|yi-ŷxi|

Аi= yi *100%

А1=3,93/72,8*100%=5,3%

А2=2,56/63,2*100%=4,04%

А3=|-4,9| / 61,9*100%=7,8%

А4=1,13/58,7*100%=1,9%

А5=|-2,55| /57,0*100%=4,47%

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 4,7%

По каждому наблюдению вычислим величину отклонения. Полученные данные занесем в таблицу

У1-ŷ1=72,8-68,87=3,93

У2-ŷ2=63,2-60,64=2,56

У3-ŷ3=61,9-66,76=-4,9

У4-ŷ4=58,7-57,57=1,13

У5-ŷ5=57,0-59,55=-2,55

Рассчитываем F критерий

∑(ỹx-y)²/mr²xy

Fфакт== =0,62/(1-0,62)*(5-2)=4,89

∑(y-ỹ)²/(n-m-1) 1-r²xy(n-2)

т.к Fтабл.α=0,05 =10,13 следовательно Fтабл>Fфакт отсюда следует, что гипотеза Но принимается. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

ПОСТРОЕНИЕ СТЕПЕННОЙ РЕГРЕССИВНОЙ МОДЕЛИ

У=а*х предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Lg y=lg a+b* lg x;

Y=C+b*X где

Y=lg y.,C= lg a., X= lg x

Табл.№3

№ п/п	Y	X	YX	Y²	X²	ŷx	yi-ŷx	(yi-ŷx)²	Ai
1	1,86	1,67	3,1062	3,4596	2,7889	68,61	4,19	17,6	5,76
2	1,80	1,77	3,186	3,24	3,1329	60,24	2,96	8,76	4,68
3	1,79	1,70	3,043	3,2041	2,89	66,17	-4,27	18,23	6,90
4	1,77	1,80	3,186	3,1329	3,24	57,72	0,98	0,96	1,67
5	1,76	1,78	3,1328	3,0976	3,1684	59,33	-2,33	5,43	4,09
Итого	8,98	8,72	15,654	16,134	15,22	50,98	23,1
Сред.знач	1,796	1,744	3,1308	3,22	3,044	10,196	4,62
σ	0,3010	0,05
σ²	0,0906	0,0025

Рассчитаем σ:

σ²x= n ∑(хi-х)²=3,044-1,744²=0,0025

σy²= n ∑(yi-y)²=3,22-1,769²=0,0906

вычислим значения С и b по формуле:

b= yx-y∙x =(3,1308-1,796*1,744)/0,0025= -0,5696

σ²x

С=Y-b∙X=1,796+0,5696*1,744=2,7894

Получим линейное уравнение Ỹ=2,7894-0,5696*Х, после потенцирования

2,7894 -0,5696 -0,5696

получим: ŷ=10 *х =615,7 *х

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоритические значения результата ŷx. По ним рассчитываем показатели: тесноты связи – индекс корреляции ρxy и среднюю ошибку аппроксимации Аi

2,7894

Ŷ1=10 *47,1=68,61

2,7894

Ŷ2=10 *59,2=60,24

2,7894

Ŷ3=10 *50,2=66,17

2,7894

Ŷ4=10 *63,8=57,72

2,7894

Ŷ5=10 *60,8=59,33 далее рассчитаем Аi

l (yi-ỹхi)

А= n ∑ Аi = уi ∙100%

А1=4,19/72,8*100%=5,76%

А2=2,96/63,2*100%=4,68%

А3=4,27/61,9*100%=6,90%

А4=0,98/58,7*100%=1,67%

А5=2,33/57,0*100%=4,09%

ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√ l-10,196/30,2776=0,81

определим коэффициент по формуле детерминации:

r²xy=(Pxy)²=(0,81)²=0,6561

Аi=4,62%

Характеристика степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ

Построению уравнения показательной кривой у=а ·bx предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

Lg y=lg a+x*lgb

Y=C+Bx где,

Y=lg y., C=lg a., B=lgb

Табл.№4

№ п/п	Y	X	YX	Y²	X²	ŷx	yi-ŷx	(yi-ŷx)²	Ai
1	1,86	47,1	87,606	3,4596	221,41	67,96	4,84	23,42	6,65
2	1,80	59,2	106,56	3,24	3504,64	60,18	3,02	9,12	4,77
3	1,79	50,2	89,858	3,2041	2520,04	65,87	-3,97	15,76	6,41
4	1,77	63,8	112,926	3,1329	4070,44	57,45	1,25	1,56	2,12
5	1,76	60,8	107,008	3,0976	3696,64	59,22	-2,22	4,92	3,89
Итого	8,98	281,1	503,958	16,1342	16010,17	310,68	2,92	54,78	23,84
Сред.знач	1,796	56,22	100,7916	3,2268	3202,034	4,77
σ	0,037	6,4
σ²	0,0012	41,34

Значения параметров регрессии А. и В составили: