Использование методов линейного программирования и экономического моделирования в технологических процессах (стр. 1 из 3)
Задача 1
Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти:
сортом А в количестве 10 единиц,
сортом В — 15 единиц.
При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б) и мазут (М).
Имеется три варианта технологического процесса переработки:
I: 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М
II:2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М
III:2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М
Цена бензина — 10 долл. за единицу, мазута — 1 долл. за единицу.
Определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.
Решение
"выгодность" -- получение максимального дохода от реализации продукции
"выбор (принятие) решения" состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить.
Обозначим неизвестные величины:
хi—количество использования i-го технологического процесса (i=1,2,3).
Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны.
Для вектора х=(х1,х2,х3),
выручка завода равна (32х1+15х2 +12х3) долл.
Здесь 32 долл. — это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.).
Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего процессов.
Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:
для сорта А:
для сорта В:
,где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 — это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I, II, III соответственно.
Математическая модель
Найти такой вектор х = (х1,х2,х3), чтобы
максимизировать f(x) =32х1+15х2 +12х3
при выполнении условий:
. 
Получили задачу линейного программирования.
Модель (1.4.2.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).
На дом
Пример. Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.
Обозначим известные параметры задачи:
n — число разновидностей ценных бумаг;
аj — фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги
j — ожидаемая прибыль от j-го вида ценной бумаги.Обозначим неизвестные величины:
yj — средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j.
По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как
Для упрощения модели введем новые величины
Таким образом, хi — это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида j.
Ясно, что
Из условия задачи видно, что цель инвестора — достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском.
Содержательно риск — это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией.
прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М — обозначение математического ожидания.
min
при ограничениях
Получили модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг.
Модель (1.4.3.) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).
Задача 2
Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и, после соответствующей обработки, поступают в продажу. Хотя недельный расход корма для цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет 1 фунт.
Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимых весовых кондиций, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов. В качестве ингредиентов рассмотрим три: известняк, зерно и соевые бобы. Требования к питательности рациона сформулируем, учитывая три вида питательных веществ: кальций, белок и клетчатку. В таблице приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Заметим, что известняк не содержит ни белка, ни клетчатки.
Смесь должна содержать:
1. не менее 0,8%, но не более 1,2% кальция;
2. не менее 22% белка;
3. не более 5% клетчатки.
Требуется определить для птицеводческой фермы количество (в фунтах) каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.
Решение
Введем следующие обозначения:
x1- содержание известняка (в фунтах) в смеси,
- содержание зерна (в фунтах) в смеси, 
- содержание соевых бобов (в фунтах) в смеси.В качестве (минимизируемой) целевой функции выступает общая стоимость смеси, определяемая по формуле
.Минимальный общий вес смеси, еженедельно расходуемой на кормление 20000 цыплят равен 20000 фунтов. Так как
, и представляют веса трех ингредиентов, используемых для составления смеси, то общий вес смеси будет равен 
, причем эта сумма не должна быть меньше 20000 фунтов.Теперь обратим внимание на требования, предъявляемые к смеси с точки зрения питательности. Так как общий расход кормов равен
, то содержание кальция должно находиться в пределах от 0,008 до 0,012 . В соответствии с таблицей исходных данных содержание кальция, обусловленное включением в смесь фунтов известняка, фунтов зерна и фунтов соевых бобов, равно 
. Отсюда следует, что ограничения, связанные с содержанием кальция в кормовом рационе, можно представить в следующем виде:1. смесь должна содержать не менее 0,8% кальция:
2. смесь должна содержать не более 1,2% кальция:
Эти ограничения можно записать в более простой форме, объединив в левых частях неравенств члены, содержащие
, и : 
Аналогично записываются условия по оставшимся питательным веществам.
Окончательная математическая формулировка задачи может быть представлена в следующем виде:
Задача 3
Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из трех различных узлов. Эти узлы изготовляются на двух заводах. Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску каждого из трех видов узлов неодинакова. В приводимой ниже таблице содержатся исходные данные, характеризующие как производительность заводов по выпуску каждого из узлов, так и максимальный суммарный ресурс времени, которым в течение недели располагает каждый из заводов для производства этих узлов.