Использование методов линейного программирования и экономического моделирования в технологических процессах (стр. 2 из 3)

Идеальной является такая ситуация, когда производственные мощности обоих заводов используются таким образом, что в итоге обеспечивается выпуск одинакового количества каждого из видов узлов. Однако этого трудно добиться из-за различий в производительности заводов. Более реальная цель состоит в том, чтобы максимизировать выпуск изделий, что, по существу, эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или двум видам узлов.

Возможный объем производства каждого из трех видов узлов зависит от того, какой фонд времени выделяет каждый завод для их изготовления.

Требуется определить еженедельные затраты времени (в часах) на производство каждого из трех видов узлов на каждом заводе, не превышающие в сумме временные ресурсы каждого завода и обеспечивающие максимальный выпуск изделий.

Решение.

Пусть

- недельный фонд времени (в часах), выделяемый на заводе i для производства узла j. Тогда объемы производства каждого из трех комплектующих узлов будут равны

Так как в конечной сборке каждый из комплектующих узлов представлен в одном экземпляре, то количество конечных изделий должно быть равно количеству комплектующих узлов, объем производства которых минимален. Поэтому количество конечных изделий можно выразить через число комплектующих узлов следующим образом:

Условия рассматриваемой задачи устанавливают ограничения только на фонд времени, которым располагает каждый завод. Тогда математическую модель можно представить в следующем виде:

Задача 4

На предприятии производятся два вида продукции из двух видов сырья. Производство единицы продукта 1 (первого вида) приносит предприятию доход, равный 10 единицам, а производство единицы продукта 2 (второго вида) - доход в 8 единиц. Переработка сырья производится аппаратами двух типов, которые условно называются в дальнейшем машинами и агрегатами. На переработке сырья первого вида занято пять машин, причем производственные условия не допускают, чтобы суммарное время использования машин на этой работе превышало 40 ч (за некоторый период). На переработке сырья второго вида занято 25 агрегатов; суммарное время их использования в течение того же периода не должно превышать 200 ч. При производстве единицы продукта 1 на переработку сырья первого вида затрачивается 4 ч и на переработку сырья второго вида - 9 ч, в то время как производство единицы продукта 2 требует затраты 3 ч на переработку каждого из видов сырья.

На предприятии принимается решение увеличить выпуск продукции как за счет приобретения нового оборудования тех типов, что и имеющиеся, так и за счет сверхурочных часов работы.

Максимальное число сверхурочных часов, приходящихся на период, равно восьми, причем эти часы должны распределяться на переработку первого и второго видов сырья равномерно. Доплата за час сверхурочной работы на переработке любого из видов сырья одинакова; полная оплата за час сверхурочной работы равна 2 единицам. Повышение затрат за период, связанный с приобретением одной машины, перерабатывающей сырье первого вида, составляет 10 единиц. Агрегаты, перерабатывающие сырье второго вида, дополнительно не приобретаются.

Необходимо максимизировать доход от выпуска продукции.

Решение

Задачу максимизации дохода от выпуска продукции можно записать как задачу математического программирования:

Здесь через

и обозначены соответственно искомые количества производимых продуктов первого и второго видов, через - количество приобретаемых дополнительных машин для переработки сырья первого вида и через - число часов сверхурочной работы. Целевая функция представляет собой величину суммарного дохода. Первое ограничение связано с невозможностью превысить лимит времени на переработку сырья первого вида, второе - с невозможностью превысить лимит времени на переработку сырья второго вида, третье ограничение и условие неотрицательности переменных самоочевидны.

Задача 5

Для обеспечения нормальной работы оборудования необходимо закупить n видов запасных частей на сумму d рублей. Стоимость j-ой детали равна

, потребность в ней есть случайная величина , имеющая показательный закон распределения с параметром . Использование j-ой детали позволяет получить прибыль . Отсутствие детали в случае необходимости приводит к убыткам . Если деталь не используется в данном периоде, то убыток составляет . Как распределить имеющиеся средства, чтобы общая прибыль была наибольшей?

Решение

Пусть

- количество закупленных деталей j-го вида. Так как потребность в этих деталях равна , то доходы и издержки определяются в зависимости от соотношения между величинами и :

Значит, прибыль от деталей j-го вида можно определить следующим образом:

Но так как

- величина случайная, то и прибыль – тоже случайная величина. Следовательно, мы должны максимизировать не саму прибыль, а ее математическое ожидание

.

Здесь

-

плотность распределения случайной величины

. Тогда

.

Общая ожидаемая прибыль вычисляется как сумма математических ожиданий прибылей от деталей всех видов. Ограничения задачи связаны с невозможностью превысить сумму, выделенную на закупку деталей. Кроме того, из характера переменных

вытекают условия их неотрицательности и целочисленности. В результате получаем следующую математическую модель:

Задача 6

Фирма А производит некоторый товар, который имеет спрос в течение n единиц времени. Этот товар поступает на рынок в момент i (i=1,…,n). Для конкурентной борьбы с фирмой А дочерняя фирма В концерна Д, не заботясь о собственных доходах, производит аналогичный товар, который поступает на рынок в момент j (j=1,…,n). Ее цель – разорение первой фирмы, после чего ей будет легко, опираясь на капитал D, наверстать упущенное. Для этой цели проще всего продавать товары по пониженной цене. Однако имеются законы (соглашения), запрещающие поступать подобным образом. В этом случае единственным законным инструментом этой фирмы является выбор момента поступления товара на рынок. Будем считать, что качество конкурирующих товаров зависит от времени их поступления на рынок относительно друг друга – чем позднее товар выбрасывается на рынок, тем качество его выше, а реализуется только товар высшего качества. Каждая фирма должна заранее готовить свое производство к выпуску и продаже товара в выбранный период времени. А чтобы разорить первую фирму, вторая фирма должна минимизировать ее доходы

Решение

Налицо столкновение интересов двух фирм - А и В. Наиболее подходящим математическим аппаратом для моделирования их поведения является теория игр.

Изложенная в условии задачи ситуация конкуренции двух одинаковых фирм является антагонистическим конфликтом. Для построения математической модели этого конфликта - конечной антагонистической игры - примем за игроков 1 и 2 соответственно фирмы А и В. Очевидно, что множества чистых стратегий игроков 1 и 2 - это множества

: фирма А выбирает i-ый момент поступления товара на рынок, стараясь максимизировать свой доход, а фирма В выбирает j-ый момент, преследуя прямо противоположные цели - минимизировать доход фирмы А.