Економічна модель оптимізації закупівель та поставок кондитерських виробів на прикладі товариства з обмеженою відповідальністю "Гермес-Груп" (стр. 9 из 22)
.У залежності від характеру побудови dnчисельні методи розділяються на прямі (без використання похідних), методи спуска (з використанням перших похідних) і методи з використанням других похідних.
Існує безліч методів рішення поставленої задачі. Розглянемо деякі з тих, за допомогою яких можна вирішити запропоновану модель.
Класичні методи визначення екстремумів
У багатьох економічних моделях дослідження операцій залежності між постійними і перемінними факторами лише в першому наближенні можна вважати лінійними, більш детальний розгляд дозволяє знайти їхня нелінійність. Як правило, такі показники, як прибуток, собівартість, капітальні витрати на виробництво й ін., у дійсності залежать від обсягу виробництва, витрати ресурсів і т.п., нелінійно. У цьому випадку виникає задача нелінійного програмування.
Можна виділити клас нелінійних задач, що відносяться до класичних методів оптимізації. Припустимо, що серед обмежень математичної моделі немає нерівностей, не обов'язкові умови незаперечності, перемінні не є дискретними, m < n, а цільові функції безперервні і мають частки похідні принаймні другого порядку. У цьому випадку задачу оптимізації можна сформулювати так: знайти перемінні х1, х2,..., хM, що задовольняють системі рівнянь
(2.1.4)і обертаючі в максимум (мінімум) цільову функцію
(2.1.5)Такі задачі в принципі можна вирішувати класичними методами диференціального вирахування. Однак на цьому шляху зустрічаються такі обчислювальні труднощі, що роблять необхідним пошук інших методів рішення. Тому класичні методи часто використовуються не як обчислювальний засіб, а як основа для теоретичного аналізу.
Прикладом типової і простої нелінійної задачі є наступна: дане підприємство для виробництва якогось продукту витрачає два засоби в кількості х1 і х2 відповідно. Це фактори виробництва, наприклад, машини і праця, два різних види сировини і т.п., а величини х1 і х2 — витрати факторів виробництва. Фактори виробництва надалі будемо вважати взаємозамінними. Якщо це "праця" і "машини", то можна застосовувати такі методи виробництва, при яких величина витрат машин у зіставленні з величиною витрат праці виявляється більше або менше (виробництво більш-менш трудомістке). У сільському господарстві взаємозамінними факторами можуть бути посівні площі або мінеральні добрива (екстенсивний або інтенсивний метод виробництва).
Обсяг виробництва (виражений у натуральних або вартісних одиницях) є функцією витрат виробництва
Ця залежність називається виробничою функцією. Витрати залежать від витрати обох факторів (х1 і х2) і від цін цих факторів (з1 і з2). Сукупні витрати виражаються формулою b=c1x1+c2x2. Потрібно при даних сукупних витратах визначити таку кількість факторів виробництва, що максимізує обсяг продукції z.Математична модель цієї задачі має вигляд:
Визначити такі перемінні х1 і х2, що задовольняють наступним умовам
c1x1+c2x2= b, (2.1.6)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (2.1.7)
при яких функція
досягає максимуму.Як правило, функція (2.1.7) може мати довільний нелінійний вид.
Використовуючи класичні методи оптимізації, варто чітко уявляти собі розходження між локальним екстремумом функції, глобальним екстремумом і умовним екстремумом. При цьому корисно повторити визначення локального і глобального екстремумів для функції однієї перемінної. Поняття умовного екстремуму вводиться для випадку, коли число перемінних n не менше 2 (n≥2).
Будемо думати, що функція
двічі діфференцується в точці 
, і в деякій її околиці. Якщо для всіх точок X цієї околиці 
, то говорять, що функція f(X) має екстремум у X* (відповідно максимум або мінімум).Точка Х*, у якій усі частки похідні функції z = f (X) рівні 0, називається стаціонарною точкою.
Необхідна умова екстремуму. Якщо в точці Х* функція z = f (X) має екстремум, то частки похідні функції в цій точці рані нулеві:
Отже, точки екстремуму функції z = f (X) задовольняють системі рівнянь (1.5.5):
(2.1.8)Як і у випадку одна перемінної, необхідне умова не є достатнім для того, щоб стаціонарна точка була точкою екстремуму. Для одержання достатніх умов варто визначити в стаціонарній точці знак диференціала другого порядку. Диференціал другого порядку позначається d2 f (x1, x2,…,xn)і дорівнює сумі добутків часток похідних другого порядку на відповідні збільшення аргументів. Якщо від частинної похідної
знайти частинну похідну по перемінній хj, то одержимо частинну похідну другого порядку по перемінним хi, хj, що позначається 
. У цьому випадку 
Достатні умови екстремуму:
а) у стаціонарній точці X0 функція 
має максимум, якщо 
< 0, і мінімум, якщо > 0, при будь-яких 
; (у цих випадках Х0 = Х*), що не звертаються в нуль одночасно;
6) якщо може приймати в залежності від і позитивні, і негативні значення, то в точці X0 екстремуму немає;
в) якщо може звертатися в нуль не тільки принульових збільшеннях , то питання про екстремум залишається відкритим.
Для функції двох перемінних достатні умови ще не дуже складні. Існують чотири частки похідні другого порядку:
. З них дві змішані похідні 
, якщо безперервні, те рівні.Знайдемо значення часток похідних другого порядку в стаціонарній точці Х0(х01,х02):
(можна переконатися, що а12 = а21). Позначимо через ∆ визначник, складений з аij для i, j = 1,2:
Тоді достатні умови екстремуму функції двох перемінних мають вигляд:
а) якщо ∆ > 0 і а11 < 0 (а22 < 0), те в точці Х0 функція має максимум: якщо ∆ > 0 і а11 > 0 (а22 > 0), те в точці Х0 — мінімум (у цих випадках Х0 = Х ');
б) якщо ? < 0, те екстремуму немає;
в) якщо ∆ = 0, то питання про екстремум залишається відкритим.
Схема визначення екстремуму функції n перемінних збігається з правилами визначення локального екстремуму функції однієї перемінної.
Умовний екстремум.
Нехай необхідно знайти екстремум функції 
за умови, що перемінні
задовольняють рівнянням (2.1.9) 
(2.1.9)Передбачається, що функції f і φi, мають безперервні частки похідні по всім перемінним. Рівняння (2.1.9) називають рівняннями зв'язку.
Говорять, що в точці Х0 =
, що задовольняє рівнянням зв'язку (1.5.6), функція 
має умовний максимум (мінімум), якщо нерівність 
має місце для всіх точок X, координати яких задовольняють рівнянням зв'язку.Легко помітити, що задача визначення умовного екстремуму збігається з задачею нелінійного програмування (2.1.4), (2.1.5).
Один зі способів визначення умовного екстремуму застосовується в тому випадку, якщо з рівнянь зв'язку (2.1.9) n перемінних, наприклад
можна явно виразити через що залишилися n-m перемінних: 
(2.1.10)Підставивши отримані вираження для
, у функцію z, одержимо 
(2.1.11)