Економічна модель оптимізації закупівель та поставок кондитерських виробів на прикладі товариства з обмеженою відповідальністю "Гермес-Груп" (стр. 12 из 22)
При проведенні досліджень було виявлено, що підприємство веде неправильну політику при вирішенні обсягів закупівлі товарів на заводах-виробниках. Також результати опитань та досліджень показали, що на ринку продажу кондитерських виробів існує висока конкуренція. Тому споживачів необхідно заохочувати пільгами та вигідними пропозиціями при купівлі кондитерських виробів. При підвищенні обсягів закупівель продукції споживачами вигідно знизити ціни, щоб збільшити обсяг закупівель у виробників і тим самим збільшити обсяг продажу виробів. Іноді вигідно знизити ціни, щоб збільшити об’єми продажів.
Для заохочення споживачів необхідно створити таку систему цін продажів товару, яка б залежала від обсягу закупівель з боку споживачів.
Необхідно розробити економіко-математичну модель, яка б розраховувала максимальний прибуток при оптимальному обсязі закупівель.
Завод і випускає та продає продукцію j в об’ємі x. Підприємство закупає цю продукцію в об’ємі х та продає її в об’ємі у.
Шляхом аналізу необхідно поставити головну умову розробки економіко-математичної моделі: процес закупівлі попереджається замовленням необхідних обсягів на підприємствах-виробниках. В подальшому викладенні ці замовлення-закупівлі будемо називати закупівлями. x = y або обсяг закупівель дорівнює обсягу продажів.
Тобто для досягнення максимального прибутку на підприємстві необхідно прийняти таку умову – закупівлі підприємства повинні дорівнювати продажам споживачам. Розробимо таку систему цін, щоб задовольнити потреби споживачів. Побудуємо графік залежності обсягу закупованої продукції від цін (рисунок 2.3.1).
Рисунок 2.3.1 – Графік залежності обсягу продажів від ціни
На рисунку 2.3.1 y – обсяг закупованої продукції; x – ціна.
З вище наведеного графіка легко побачити, що при закупівлі продукції в об’ємі y1ціна цієї закупівлі буде максимальна – х4, а при максимальному обсязі закупівлі у4 ціна буде мінімальною – х1.
Тобто підприємство закуповує кондитерські вироби за цінами
- ціна закупівлі i-го заводу, j-ї продукції.Відпускна ціна i-го заводу, j-ї продукції (
), буде різною для різних обсягів закупівель. Це буде 
та 
. Обсяги закупівель встановлює керівник підприємства.Відпускна ціна залежить від обсягів закупівель, тобто
.Така залежність знаходиться по статистичним даним як рівняння регресії:
, (2.3.1)де a і b – коефіцієнти.
Вони знаходяться з рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки [].
Також їх можна знайти, виходячи з графіка, представленого на рисунку 2.3.2.
Рисунок 2.3.2 - Графік для знаходження рівнянь двох точок
y1 = ax1 + b
b = y1 - ax1,
де х1 і х2 – обсяги продажів 1 і 2;
у1 і у2 – відпускні ціни при об’ємах закупівель 1 і 2.
Прибутком підприємства (W) є різниця між відпускними цінами та закупівельними, які пов’язані з обсягом закупівлі.
З вищеоговореного складемо економіко-математичну модель максимізації прибутку (2.3.2).
(2.3.2)Підставимо (2.3.1) в (2.3.2), отримаємо (2.3.3) та (2.3.3.а):
(2.3.3.) 
(2.3.3.а) 
(2.3.4)Дана функція має ряд обмежень. Підприємства-виробники обмежують ряд закупівель, які повинно замовити підприємство. Обсяги закупівлі xijпідприємства обмежені можливостями підприємств-виробників (2.3.4).
Цільова функція – параболічна. Залишкова дисперсія в неї нижче аніж у лінійної функції, тому що вона краще описує об’єкт дослідження та моделювання.
Але дослідженнями було доказано, що закупівельні ціни – це не всі витрати, які залежать від обсягів закупівель – це тільки частина. Закупівельна ціна містить в собі відсоток втрат. Відсоток втрат встановлюється шляхом дослідження.
Таке дослідження може бути застосовано для підприємств оптової торгівлі. Закупівельні ціни можна використовувати як індикатор втрат, розуміючи під Сз закупівельні ціни плюс втрати.
2.4 Вибір методу оптимізації закупівель
Сформульована математична задача може бути вирішена одним з розроблених математичних методів. Методи елементарної математики використовуються в звичайних традиційних економічних розрахунках при обґрунтуванні потреб у ресурсах, обліку витрат на виробництво, розробці планів, проектів, при балансових розрахунках і т.д. Ці методи використовуються не тільки в рамках інших методів, але й окремо.
Існує безліч методів рішення поставленої задачі. Розглянемо деякі з тих, за допомогою яких можна вирішити запропоновану модель.
Метод покоординатного спуску
Цей метод є найбільш простим із прямих методів пошуку мінімуму функції декількох перемінних. Викладемо ідею методу для випадку функції двох перемінних f (x, y).
Виберемо початкове наближення M0 (х0, у0). Зафіксуємо в0 і знайдемо мінімум функції однієї перемінної f (x, y0). Нехай він досягається при х = х1. Уздовж прямій, рівнобіжній осі ОХ, здійснюємо спуск у точку Mt (х1, у0). Фіксуємо х1 і знаходимо мінімум функції однієї перемінної f (х1, у). Нехай це буде в1. З точки М1 (х1, у0) рухаємося уздовж прямій, рівнобіжній осі OY, до точки М2(.x1, у1). Потім знову здійснюємо спуск із точки М2 уздовж прямої рівнобіжної осі ОХ і т.д. (рисунок 2.4.1).
Рисунок 2.4.1 – Метод покоординатного спуска
Відомо, що якщо функція f (х, у) має безупиннідругі похідні в околиці мінімуму, то при відповідному виборі початкового наближення (х0, у0) спуск по координатах сходиться до мінімуму. Зокрема, метод сходиться, якщо в області D, обмеженою лінією рівня, що проходить через точку М0 {х0, у0), виконуються умови:
(2.4.1)Частки похідні функції прагнуть до нуля. Метод сходиться зі швидкістю геометричної прогресії.
Метод градієнтного спуску
Метод визначення мінімуму функції f(х), х=(x1, x2,..., хп), називаний методом градієнтного чи найшвидшого спуска, запропонованийі Коши.
Для мінімізації по методу спуска вибирається початкова точка х0= (х01, х02,..., х0n) (звичайно відповідно до фізичного змісту задачі). Функція f (x) = f (х0) визначає в n-мірному просторі гіперповерхня, градієнт якого вказує напрямок найшвидшого зростання функції.
Тому в напрямку — grad f(х0) функція швидше за все убуває при нескінченно малому русі з даної точки. Спуск по цьому напрямку до мінімуму визначає нове наближення х1.. У цій точці знову визначається градієнт і здійснюється спуск у напрямку антиградієнта. Випадок п = 2 представлений на рисунку 2.4.2
Малюнок 2.4.2 – Метод градієнтного спуску для n=2
Вектор х, який було необхідно знайтипослідовно уточнюється на k-й ітерації методу градієнтного спуска по формулі 2.4.2.
,де hk— оптимальний крок для k -й ітерації.
Таким чином, на кожнім кроці градієнтного спуска потрібно вирішувати ще задачу мінімізації функції одним перемінної яким-небудь чисельним методом. Зокрема, можна розкласти функцію в ряд Тейлора, обмеживши членами другого порядку, і визначити hk. Однак такий метод приводить до дуже громіздких обчислень. При цьому необхідно враховувати також трудомісткість обчислення значень функції f(х) і її градієнта в точках хк. Тому на практиці часто h вибирають емпіричним шляхом. Здійснюється спуск при довільному hk; якщо значення функції f (хk+1) зменшиться, те переходимо до наступного кроку спуска, якщо ж f (хk+1) не убуває, те зменшуємо крок hk. Варто враховувати, що якщо hkвибрати дуже малим, те це приводить до істотного збільшення обсягу обчислень, якщо hkзанадто велике, те це може привести до проскакування через мінімум функції. Обчислення по формулі (2.4.2) проводимо доти, поки функція f(х) практично перестане убувати, тобто до виконання для наперед заданого ε нерівності
