Економіко–математичне моделювання (стр. 14 из 17)

Визначення 5. Лінійним простором Е над полем з двох елементів (0, 1) називається безліч всіх n - рядків (

) з покоординатним складанням модулю 2, де ( ) рівні 0 або 1.

Добре відомо, що група підмножин початкової кінцевої множини по операції симетричної різниці ізоморфна як група лінійному простору над полем з двох елементів. Відомо також, що в такому середовищі можна ввести другу операцію - множення - певним чином злагоджену з складанням, внаслідок чого подібна структура називається ще кінцевим полем, або полемо Галуа (на ім'я видатного французького математика Еваріста Галуа, що застосував їх властивості для вирішення питання про можливості розв’язання рівнянь алгебри в радикалах).

Основна ідея аналізу - апроксимація функцій довільної природи Битвами, що складаються з функцій більш простої природи, реалізується за рахунок вибору як такий основний набір системи мультиплікативних функцій.

Визначення 6. Характером групи З називають таку комплекснозначну функцію, яка задовольняє функціональному рівнянню:

.

Як показано в роботі, групою характерів групи підмножин кінцевої множини по операції симетричної різниці є система функцій Уолша, про яку мова піде нижчим. В цій же роботі показано, що групою характерів безлічі дійсних чисел відрізка [0, 2π] з операцією складання по модулю 2к є класична система ортогональних функцій

, а групою характерів кінцевої циклічної групи з n елементів є безліч коренів n-й ступінь з 1:

.

Саме ці групи ми і використовуємо надалі для характеристики політичного процесу як функції політичних індикаторів. При цьому континуальний випадок є природним узагальненням дискретного випадку в припущенні ухвалення концепції актуальної нескінченності для безлічі політичних індикаторів, що представляється самим загальним випадком. Крім того, з тригонометричною системою пов'язана, як вже наголошувалося, класична проблема представлення функції (суперечка Ейлера і Д'Аламбера). Нижче за показ? але, як метричні задачі для загальних тригонометричних рядів будуть зведені до вивчення рядів (насправді, кінцевих ідемпотентних поліномів) за системою характерів кінцевої циклічної групи.

На базі наступної допоміжної леми здійснено зведення метричних задач до вивчення властивостей ідемпотентних поліномів, які можна також потрактувати як тригонометричні суми або їх аналог за системою Уолша.

Лема. Хай функція

. Якщо, то існує постійна С > 0 така, що для будь-якої вимірної множини , . Назад, якщо існує постійна С > 0 така, що для будь-якої вимірної множини , для деякого ε > 0, то функція , при будь-кому р, 0 < р < 1 + е, причому при р = 0 твердження втрачає силу. Крім того, функція f(x) істотно обмежена на [0,2л] тоді і тільки тоді, коли існує постійна С>0 така, що для будь-якої вимірної множини , .

Доведення: Хай

, , тоді:

.

і в одну сторону затвердження леми доведено.

Хай тепер

для будь-якої вимірної множини Е, , і деякого . Хай , .

Якщо f(x)- дійснозначна функція, то:

.

Якщо f(x) = u(x)+iv(x), то:

; ;

і значить:

.

Нехай

,

k=1,2, ..., і хай

, р>0, р<1+ε.

Тоді:

(1)

Легко бачити, що для k = 1,2....

,

тому:

(2)

Зіставляючи (1) і (2), маємо:

будь-яке

, тобто , що і вимагалося довести.

Те, що твердження втрачає силу при р = 0, видно на прикладі функції

.

Для цієї функції:

, але .

Нарешті, якщо

, то:

то

Якщо ж, навпаки, функція f(x) така, що:

,

то:

звідки

при всіх k=l, 2,.... Це можливо лише у випадку, коли починаючи з деяким k₀, при всіх k>k₀, тобто у разі, коли функція f(x) істотно обмежена, і лема повністю доведена.

Теорема 1. Якщо послідовність цілих чисел

то існує постійна

, така, що для будь-кого натурального числа р і будь-якого полінома , де або ,

справедлива нерівність:

(3)

Назад, якщо для послідовності {n_k} існує постійна С > 0, така, що для будь-кого натурального р і для будь-якого полінома

, або , , справедлива оцінка (3), то послідовність для любого .

Доведення: Доведемо спочатку необхідність.

Хай:

де

Утворюємо множину Е на відрізку [0,2π] таким чином:

Оцінимо інтеграл по множині Е від функції

, де коефіцієнти a_k підберемо пізніше:

тобто:

(4)

Хай тепер f(x) вибрана так, що:

(5)

Тоді в силу (4) маємо:

(6)

Оскільки

, то існує постійна , така, що: