Економіко-математичні моделі управління інвестиційним портфелем (стр. 3 из 5)
Прогноз майбутньої поведінки фондового індексу розглядався як база для порівняння ефективності застосування на ринку цінних паперів різних методів прогнозування; орієнтир доходності портфельного інвестування; засіб для визначення теоретичних очікуваних доходностей активів за моделлю CAPM.
Будувались наступні моделі: трендові моделі; модель експоненціального згладжування; модель Холта-Вінтерса; модель авторегресійного рухомого середнього (Бокса-Дженкінса).
Дані по курсах цінних паперів, цінах і обсягах угод в Україні стали придатними для аналізу з початком становлення реальної торгівлі в Першій фондовій торговій системі (ПФТС), з лютого 2003 року. В жовтні того ж року почалося стрімке падіння ринку, яке перейшло у стагнацію. На нашу думку, дані до червня 2004 року є найбільш придатними. Таким чином, довжина рядів склала менше 1,5 року. Висновки аналізу були б достовірнішими за наявності якісних даних за 3-5 років. Окрім малої довжини, ряди мають ще й такі недоліки: перервність, різна значущість даних, велика питома вага угод, що не відображають ринкової кон’юнктури. Були розраховані середньозважені ціни активів по укладених угодах за кожний тиждень. Таким чином довжина рядів зменшилась у 5 разів, але значно підвищилась їх якість.
За всіма моделями будувались прогнози на три періоди вперед. Якість прогнозів визначалась за критерієм RMSE (стандартної середньоквадратичної похибки):
де ft - прогноз yt,
N - кількість періодів прогнозування.
В результаті оцінювань було встановлено, що найбільш вдалими є прогнози, отримані за методом ARMA-ARIMA, дещо гірші - за методом Холта-Вінтерса, прогнози за рештою методів значно поступаються. Окрім того, прогнози доходності акцій за методом ARMA-ARIMA в переважній більшості випадків виявились кращими за відповідні середні вибіркові значення. Отримані висновки підтверджуються результатами дослідження італійського вченого К. Конверсано, які проводились паралельно на основі інформації про італійський фондовий ринок.
В третьому розділі "Нові моделі формування і управління інвестиційним портфелем. Практичні розрахунки і результати" досліджується ефективність застосування традиційних та деяких альтернативних оцінок доходності і ризику в моделюванні інвестиційного портфеля, пропонуються нові критерії ризику, методи врахування історичних даних, та наводяться розроблені автором дослідження економіко-математичні моделі вибору інвестиційного портфеля: модель інвестиційного портфеля з пуасонівським згладжуванням і врахуванням вподобань; моделі оптимізації структури інвестиційного портфеля з індикацією імовірних втрат доходності; моделі оптимізації обсягів пакетів цінних паперів. Надаються рекомендації по їх використанню. Аналізуються практичні результати моделювання. Робляться висновки щодо успішності і практичної доцільності використання розроблених методів та моделей.
Модель інвестиційного портфеля з пуасонівським згладжуванням і врахуванням вподобань. Методологічною основою моделі є підхід Марковіца. Визначається портфель, що забезпечує отримання певної заданої доходності за мінімального ризику. Як міра ризику фінансових активів замість дисперсії використовується середній квадрат приростів доходності за минулі періоди часу.
Для описання нерівнозначних періодів в функціонуванні ринку і відповідного врахування попередніх даних було застосоване пуасонівське згладжування. Процедура пуасонівського згладжування означає, що згладжена доходність і-го цінного паперу на момент T визначається так:
де Ri,t - фактичне значення доходності i-го цінного папера в момент часу t, а згладжений добуток приростів доходностей цінних паперів i та j:
Застосування згладжування найбільш адекватного до ретроспективи ринку здійснюється завдяки підбору параметрів
i. Пуасонівське згладжування з параметром? <1 близьке за ефектом до експоненціального, а з параметром?? 1 дозволяє промоделювати піки на всьому проміжку розгляду даних.Окрім показників доходності та ризику активів, введемо такі позначення:
Нехай
- частка і-го цінного папера в портфелі у вартісному виразі, тоді економіко-математична модель оптимальної структури інвестиційного портфеля матиме вигляд:Цільова функція (1.1) є формалізацію ризику - міри мінливості доходності активів портфеля, що мінімізується. Обмеження (1.2), (1.3), (1.4) втілюють вимогу по мінімально допустимому рівню доходності, ліквідності, та фінансової стійкості портфеля відповідно. Обмеження (1.5) є природньою вимогою рівності одиниці суми всіх часток, а (1.6) - умови невід’ємності часток.
Якщо інвестор має підстави відрізняти активи, не тільки за об’єктивними показниками (доходності, ліквідності і т. і), але й за особистими міркуваннями, його ставлення до конкретного активу можна виразити в величині вагового коефіцієнта, що може приймати значення з проміжку (0,1]. Чим привабливішим, з точки зору інвестора, є актив, тим більшого значення буде надано відповідному коефіцієнту.
Позначимо - коефіцієнт переваги, яку надає інвестор і-му активу.
Врахувати переваги інвестора в цільовій функції це можна зробити так:
Наведемо приклад застосування цієї моделі. Будувався портфель в вибраний довільним чином момент часу (14.03.04) на термін один тиждень. З аналізу ринкової історії активів був зроблений висновок про застосування до всіх рядів доходності пуасонівського згладжування з параметром 
=2. Були розраховані згладжені значення доходності і квадратів приростів. Далі будувалась сукупність ефективних портфелів із заданою доходністю від 0,5 до 3,5% за тиждень. В результаті застосування моделі були отримані оптимальні структури та реалізована доходність портфелів (табл.1):
Фактична доходність кожного з побудованих портфелів перевищила задану на 3,5-12%. Отже пуасонівське згладжування може успішно застосовуватись до врахування даних при моделюванні інвестиційного портфеля.
Дослідження ефективності оцінок доходності і ризику. Особлива увага була приділена порівнянню ефективності застосування варіації і середнього квадрата прирощувань як оцінок ризику; середнього вибіркового і оцінки очікуваної доходності за ARMA-прогнозуванням як оцінок доходності.
Комбінуванням двох оцінок доходності та двох оцінок ризику можна побудувати чотири моделі (одна з них - модель I - модель Марковіца) (табл.2).
Примітка. В моделях рамкою виділені вирази з альтернативними показниками доходності та ризику.
Зважаючи на невеликий обсяг вибірки, проводилась побудова портфелів та оцінювання результатів для трьох послідовних періодів. Момент початку формування портфелів - останній тиждень лютого 2004 року (вибраний довільним чином). Інвестиційний горизонт - один тиждень, з можливістю подальшого управління. По кожній моделі будувалось одразу кілька портфелів, задаючись різними значеннями бажаної доходності, від 1,0 до 4,0%, з кроком 0,5%. Реалізовані доходності портфелів, побудованих по різних моделях, порівнювались.
Наступним етапом було поєднання трьох послідовних періодів в один інвестиційний горизонт і розгляд побудови портфелів як єдиний процес управління, що складається з трьох етапів: 1 - первинний розподіл грошових коштів по напрямках, тобто між конкретними видами активів; 2,3 - ротація портфеля за результатами реоптимізації (рис.2).
З розгляду одержаних результатів управління можна дійти висновків, що для використання в моделі портфеля ARMA-ARIMA прогноз є кращою оцінкою очікуваної доходності за середнє вибіркове, а середній квадрат приростів доходності є більш вдалою оцінкою ризику, ніж варіація доходності. До того ж ARMA-ARIMA прогноз і середній квадрат приростів вдало сполучаються в одній моделі.
В модель можуть бути включені обмеження по ліквідності активів, рівню їх недооціненості, кредитному ризику емітента, граничним часткам інвестицій в різні види активів, цінні папери окремих галузей, а в критерій оптимальності - вподобання інвестора. В оцінці доходності можна врахувати оподаткування і операційні витрати.
Інші нові моделі. На основі прогнозів, отриманих за методом Бокса-Дженкінса, можна створити альтернативні критерії ризику інвестиційного портфеля, зокрема, використовувати в побудові індикаторів імовірної зміни доходності.
Ідея індикації зміни доходності була закладена Ю.П. Лукашиним в розрахунок показника середніх втрат в доходності[5]. Він припускає, що небезпека зниження доходності виходить в момент t від тих цінних паперів, у яких спостерігається падіння доходності. При цьому кореляційні зв'язки між доходностями активів не враховуються.
З використанням ARIMA-прогнозу можна побудувати, принаймні, два індикатори напрямку та сили імовірної зміни доходності.
Нехай - ARIMA-прогноз доходності і-го активу;
нижня межа інтервалу довіри (наперед визначеної імовірності) ARIMA-прогнозу доходності і-го активу;
очікувана доходність і-го активу, визначена як середнє вибіркове.
Тоді 1) є найбільшим імовірним негативним відхиленням фактичноі доходності і-го активу від ARIMA-оцінки доходності;
2) - індикатор імовірного відхилення доходності і-го активу від очікуваного: негативного, якщо і позитивного, якщо.