Двойственность в линейном программировании (стр. 3 из 4)

- расход i-го ресурса на производство единицы j-го продукта;

- плановый объем производства j-го продукта, величина неизвестная, ее нужно найти в процессе решения задачи. Исходные данные задачи запишем в виде матрицы.

Рис. 2

Каждая строка матрицы соответствует одному ресурсу, каждый столбец – одному продукту. Справа от каждой строки записана величина ограничения по ресурсу (b₁,…, b_i,…, b_m); внизу каждого столбца - цена продуктов (с₁,…, с_j,…, с_m).

В каждой клеточке матрицы записаны так называемые технологические коэффициенты a_ij,показывающие расход i-го ресурса на производство единицы j-го продукта.

Запишем конкретный числовой пример

Рис. 3

2.2 Построение математической модели

Теперь приступим к созданию математической модели, т.е. к математической записи задачи.

Целевая функция:

Ограничения:

x₁³ 0;

x₂³ 0;

x₃³ 0.

2.3 Описание решения данной задачи

Решим поставленную выше задачу с применением EXCEL.

Содержание ячеек:

B1:D1 – имена продуктов (технологических способов);

A2:A4 – имена ресурсов;

B2:D4 – технологические коэффициенты (расход ресурсов при единичных интенсивностях технологических способов);

B6:D6 – цены продуктов;

B8:D8 – переменные;

F2:F4 – запас ресурсов;

G2:G4 – плановые расходы ресурсов, получаются в результате решения;

G6 – значение целевой функции, получается в результате решения.

Формулы для вычислений:

G2=СУММПРОИЗВ (B$8:D$8; B2:D2);

G3:G4 – копируются из G2;

G6=СУММПРОИЗВ (B8:D8; B6:D6).

Запишем формулы в ячейки G2:G4. Установить курсор на G2. На панели инструментов выбрать значок формул (f). Появятся два окна. В окне «категория» выбрать «математические», затем в окне «функция» выбрать «СУММПРОИЗВ». Появится окно «СУММПРОИЗВ». В нем нужно указать, где располагаются операнды. Первый операнд – строка B$8:D$8, второй операнд – стока B2:D2. В ячейки G3:G4 формулу скопировать из G2. Аналогичным образом записать формулу целевой функции в ячейку G6. Теперь нужно указать остальные условия решения задачи. Установить курсор на ячейку целевой функции G6. В главном меню выбрать «сервис», а потом «поиск решения». Появится окно, в котором нужно указать:

1. Целевая ячейка – G6;

2. Включить кнопку «максимальное значение»;

3. Указать изменяемые ячейки (расположение переменных) – B8:D8;

4. Записать ограничения. Их можно записать прямо в этом же окне, но лучше выбрать «добавить» и в появившемся окне «добавить» последовательно записать ограничения:

B8:D8

0 – неотрицательности переменных;

G2:G4

F2:F4 – плановый расход ресурсов меньше их запаса.

Теперь электронная модель сформирована и можно решать задачу. Для этого нужно вернуться в окно «поиск решения» и нажать «выполнить». Если электронная модель сформирована правильно, то будет получено сообщение, что задача решена. Результат решения находится на листе EXCEL и в трех отчетах: Результаты, Устойчивость, Пределы.

Рис. 4.1.4

Основные результаты видны в таблице (рис. 4.1.4.). По сравнению с условиями задачи, показанными на рис. 4.1.3., появились данные:

1. Значение целевой функции в ячейке G6 = 15880;

2. Значения переменных в ячейках B8:D8: х₁ = 86, х₂ = 0, х₃ = 268; это значит, что 1-й продукт должен производиться в объеме 86 единиц, 2-й – 0, а 3-й – 286.

3. Плановый расход ресурсов в ячейках G2:G4: расход 1-го ресурса = 271,6, расход 2-го ресурса = 310, расход 3-го ресурса = 2200.

Как видно 1-й ресурс недоиспользован, а 2-й и 3-й израсходованы полностью.

Кроме результатов в электронной таблице EXCEL готовит три отчета: Результаты, Устойчивость, Пределы. Отчет по результатам изображен на рис 4.1.5, где изображены три таблицы.

Отчет по результатам

Целевая ячейка (максимум)

Ячейка Имя Исходно Результат

$G$6 Цены ЦФ 15880

Изменяемые Ячейки

Ячейка Имя Исходно Результат

$B$8 Перем Пр1 0 86

$C$8 Перем Пр2 0 0

$D$8 Перем Пр3 0 268

Ограничения

Ячейка Имя Значение Формула Статус Разница

$G$2 Рес 1 Расход 271,6 $G$2

$F$2 не связан 228,4

$G$3 Рес 2 Расход 310 $G$3

$F$3 связанное 0

$G$4 Рес 3 Расход 2200 $G$4

$F$4 связанное 0

$B$8 Перем Пр1 86 $B$8

0 не связан 86

$C$8 Перем Пр2 0 $C$8

0 связанное 0

$D$8 Перем Пр3 268 $D$8

0 не связан 268

Рис. 4.1.5

1-я таблица – целевая ячейка – дает значение целевой функции, которая уже имеется в таблице EXCEL, значит, эти данные избыточны.

2-я таблица – изменяемые ячейки – дает значение переменных, которые уже имеются в таблице EXCEL, эти данные тоже избыточны.

3-я таблица – ограничения – дает оценку ограничений. Колонка «значение» дает значения планового расхода ресурсов и переменных – эти данные имеются в таблице EXCEL и здесь избыточны. Столбец «статус» значением «связанное» отмечает ограничения (не больше или не меньше), которые в результате решения превратились в строгие равенства, прочие ограничения имеют статус «несвязанные». Столбец «разница» показывает, на какую величину ограничения отклонились от строгого равенства. Так, например, ограничение 1-го ресурса 500, плановое значение 271,6, разница = 500 – 271,6 = 228,4.

Отчет по устойчивости изображен на рис. 4.1.6. Он состоит из двух таблиц.

Отчет по устойчивости

Изменяемые ячейки

Ячейка Имя Результат Норир.Значение градиент

$B$8 Перем Пр1 86 0

$C$8 Перем Пр2 0 -22,8

$D$8 Перем Пр3 268 0

Ограничения

Ячейка Имя Результат. Лагранжазначение Множитель

$G$2 Рес 1 Расход 271,6 0

$G$3 Рес 2 Расход 310 20

$G$4 Рес 3 Расход 2200 4,4

Рис. 4.1.6

Таблица «изменяемые ячейки» показывает значения переменных, которые уже имеются в таблице EXCEL. Столбец «нормируемый градиент» показывает, как влияет увеличение переменных на единицу на величину целевой функции. Таблица «ограничения» содержит важную информацию в столбце «Лагранжа множители». Эти величины в литературе имеют различные названия: объективно обусловленные оценки (О.О.О.) по Л. Канторовичу, двойственные оценки по Д. Данцигу, оптимальные цены, теневые цены и другие. В дальнейшем будем называть их наиболее распространенным именем – двойственные оценки и обозначать – v_i, где i – номер ограничения. В данном примере v₁ = 0, v₂ = 20,0, v₃ = 4,4. Отчет по пределам показан на рис. 4.1.7.

Отчет по пределам

Ячейка Целевое Значениеимя

$G$6 Цены ЦФ 15880

Ячейка Изменяемое Значение имя	Нижний Целевойпредел результат	Нижний Целевойпредел результат
$B$8 Перем Пр1 86	0 10720	86 15880
$C$8 Перем Пр2 0	0 15880	0 15880
$D$8 Перем Пр3 268	0 5160	268 15880

Рис. 4.1.7.

В этом отчете уже в третий раз дается значение целевой функции 15880, в пятый раз значение переменных (х₁ = 86, х₂ = 0, х₃ = 268). Нижний предел для всех переменных = 0, так, установлены ограничения по переменным. Верхний предел равен соответственно 86, 0 и 268, так устанавливают ограничения по ресурсам. Целевой результат показывает значение целевой функции при соответствующих значениях переменных. Если х₁ = 0, то ЦФ = 10720 и т.д.

Запишем математическую модель рассмотренной задачи в общем виде:

Пусть:

В-бюджет, т.е. количество денег, которое можно израсходовать на приобретение ресурсов для производства продукции, а s_i – рыночная цена i-го ресурса. Тогда единственное ограничение по ресурсам будет выглядеть следующим образом:

.

Смысл этого ограничения - нельзя израсходовать ресурсов на сумму больше, чем В.

Здесь:

- расход i-го ресурса в натуральном выражении по j-му технологическому способу;

- расход i-го ресурса в натуральном выражении по всем способам;