Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования (стр. 4 из 5)
– x1+ 2 x2+ x3 = 4, (p1)
3x1 +2 x2 + x4 = 12. (p2)
Поделим первое уравнение на коэффициент при x2.Получим новое уравнение 
= p1 / 2, эквивалентное исходному
– 1/2 x1+ x2+ 1/2 x3 = 2. ( )
Используем это уравнение, которое назовем разрешающим, для исключения переменной x2из второго уравнения. Для этого надо уравнение умножить на 2 и вычесть из p2. Получим 
= p2 – 2 = p2 – p1:
4 x1 – x3 + x4 = 8. ( )
В итоге получили новое "предпочтительное" представление исходной задачи относительно новых базисных переменных x2, x4:
f(x) = x1 + 2 x2 + 0 x3 + 0 x4 max
– 1/2 x1+ x2+ 1/2 x3 = 2 ( )
4 x1– x3 + x4 = 8 ( )
xj0, j = 1,2,3,4
Подставляя сюда представление нового базисного плана x1 = (0, x2, 0, x4), сразу найдем его координаты, так как значения базисных переменных равны правым частям уравнений
x' = (0, 2, 0, 8); f(x1)=4.
На этом завершается первая итерация простого симплекс-метода. Далее процесс решения задачи продолжается с шага 1, состоящем в проверке найденного плана на оптимальность. Решение заканчивается тогда, когда все симплексные оценки текущего базисного плана окажутся неотрицательными.
Мы не будем проводить вторую итерацию по схеме первой, поскольку все вычисления симплекс-метода удобнее проводить в табличном виде.
2.3 Табличная реализация простого симплекс-метода
Табличную реализацию продемонстрируем на том же примере (2.2)–(2.5).
Шаг 0. Решение начинается с построения начальной симплекс-таблицы. Сначала заполняется правая часть таблицы с третьей колонки. В двух верхних строках записываются имена переменных задачи (x1,...,x4) и коэффициенты целевой функции при этих переменных. Ниже записываются коэффициенты уравнений – элементы матрицы условий А, так что под переменной x1располагаетсястолбец A1, под переменной x2– столбец A2и т.д. В правый столбец заносятся правые части ограничений (числа bi > 0).
Затем находим столбцы матрицы условий, образующие единичный базис – в нашем примере это A3 и A4и соответствующие им базисные переменные x3,x4записываем во вторую колонку. Наконец, в первом столбце записываем коэффициенты целевой функции при базисных переменных.
Таблица 1 - Начальная симплекс-таблица
| СБ | Базисные переменные | с1=1 | с2=2 | с3=0 | с4=0 | Значения базисных перем. (xБ=b) |
| x1 | x2 | x3 | x 4 | |||
| c3=0 | x3 | a11=-1 | a12=2 | a13=1 | a14=0 | b1=4 |
| c4=0 | x4 | a21=3 | a22=2 | a23=0 | a24=1 | b2=12 |
| Строка оценок j | 1= -1 | 2= -2 | 3= 0 | 4= 0 | f(x)= 0 | |
Так как задача имеет предпочтительный вид, то значения базисных переменных равны правым частям уравнений, расположенным в последнем столбце. Поскольку небазисные переменные равны нулю, то начальный базисный план равен
xo = (0, 0, x3, x4) = (0, 0, 4, 12).
Шаг 1. Для проверки плана xoна оптимальность подсчитаем симплексные оценки для небазисных переменных x1и x2по формуле
j=< cБ, Aj > – cj.
1 = < cБ, A1 > – c1 = 0 ·(–1) + 0 ·3 – 1 = –1.
При табличной реализации для подсчета оценки 1надо найти сумму произведений элементов первого столбца (cБ) на соответствующие элементы столбца A1при небазисной переменной x1. Аналогично подсчитывается оценка 2, как скалярное произведение первого столбца (cБ) на столбец при переменной x2.
2 = < cБ, A2 > – c2 = 0 ·2 + 0 · 2 – 2 = –2.
Симплексные оценки записываются в последней строке симплекс-таблицы, которая называется дельта-строкой. При этом заполняются не только клетки при небазисных переменных, но и базисные клетки. Легко проверить, что для базисных единичных столбцов матрицы условий симплексные оценки равны нулю. В последней клетке строки оценок записываем значение целевой функции в точке xo.Заметим, что, так как небазисные координаты базисного плана равны нулю, то подсчет целевой функции удобно производить по формуле
f(x)= < cБ, xБ >,
перемножая скалярно первый и последний столбцы таблицы.
Так как среди оценок jестьотрицательные, то план xo – не оптимальный, и надо найти новый базисный план, заменив одну из базисных переменных на новую из числа небазисных.
Шаг 2. Поскольку обе оценки 1и 2 < 0,то в базис можно включить любую из переменных x1,x2. Введем в базис переменную с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, то есть x2.
Столбец симплекс-таблицы, в котором находится вводимая в базис переменная называется ведущим столбцом.
В примере ведущим будет столбец при x2.
Шаг 3. Если в ведущем столбце все элементы отрицательны, то решения задачи не существует и max f(x) . В примере все элементы ведущего столбца положительны, следовательно, можно найти максимальное значение x2, при котором одна из старых базисных переменных обратится в ноль. Напомним, что максимальное значение x2 = min{4/2, 12/2}=2.
По таблице это значение вычисляется как наименьшее из отношений компонент базисного плана (из последнего столбца) к соответствующим положительным элементам ведущего столбца.
Наименьшее отношение находится в строке с базисной переменной x3.Значит переменная x3исключается из состава базисных переменных (x3 = 0).
Строка, содержащая переменную, исключаемую из базиса, называется ведущей строкой.
В примере ведущей строкой будет первая строка.
Элемент, находящийся на пересечение ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим элементом.
В нашем случае ведущий элемент a12 = 2.
Табл. 2 - Начальная симплекс-таблица с ведущими строкой и столбцом
| cБ | Базисные перемен. | с1=1 | с2=2 | с3=0 | С4=0 | Значения базисных перем. | Уравнения |
| x1 | x2 | x3 | x 4 | ||||
| c3=0 | x3 | –1 | 2 | 1 | 0 | 4 | p1 |
| c4=0 | x4 | 3 | 2 | 0 | 1 | 12 | p2 |
| Строка оценок j | 1= –1 | 2= –2 | 3= 0 | 4= 0 | f(x)= 0 | ||
Шаг 4. Для получения нового базисного плана приведем задачу к новому предпочтительному виду относительно новых базисных переменных.
Для этого построим новую симплекс-таблицу, во втором столбце которой вместо исключаемой переменной x3 запишем новую базисную переменную x2, а в первом столбце (сБ) вместо с3запишем коэффициент целевой функции при x2: c2=2. В новой симплекс таблице столбец при x2 долженстать единичным (ведущий элемент должен равняться единице, а все остальные элементы должны обратиться в ноль). Это достигается следующими преобразованиями строк таблицы.
a. Все элементы ведущей строки делим на ведущий элемент и записываем в той же строке новой симплекс- таблицы.
Полученную строку p1' назовем разрешающей.
b. К оставшейся второй строке прибавим разрешающую строку, умноженную на такое число, чтобы элемент, стоящий в ведущем столбце обратился в ноль.
p2'= p2 + (- 2) p1'= p2 - p1.