Министерство Образования Российской Федерации
Алтайский Государственный Университет
Контрольная работа по предмету:
«Эконометрика»
3 курса 211 группы
Неклюдов А.А.
Барнаул 2003 г.
Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными. Данное понятие может быть продемонстрировано на простом примере. Просматривая табличные данные, помещенные в приложении книги: «Введение в эконометрику», Кристофера Доугерти можно увидеть, что в период между 1963 и 1972 гг. потребительский спрос на бензин в США устойчиво повышался. Эта тенденция прекратилась в 1973 г., а затем последовали нерегулярные колебания спроса с незначительным его падением в целом. В табл. 1.1 приведены данные о потребительском спросе и реальных ценах после нефтяного кризиса. (Реальная цена вычисляется путем деления индекса номинальной цены на бензин, на общий индекс потребительских цен и умножением результата на 100, из таблицы дефляторов цен для личных потребительских расходов(1972 = 100%)). Индексы из таблицы дефляторов основаны на данных 1972 г.; таким образом, индекс реальной цены в таблице 1.1 показывает повышение цены бензина относительно общей инфляции начиная с 1972 г.
Таблица 1.1
| Потребительские расходы на бензин и его реальная цена в США | ||
| Год | Расходы(млрд. долл., цены 1972 г.) | Индекс реальных цен (1972=100) |
| 1973 | 26,2 | 103,5 |
| 1974 | 24,8 | 127,0 |
| 1975 | 25,6 | 126,0 |
| 1976 | 26,8 | 124,8 |
| 1977 | 27,7 | 124,7 |
| 1978 | 28,3 | 121,6 |
| 1979 | 27,4 | 179,7 |
| 1980 | 25,1 | 188,8 |
| 1981 | 25,2 | 193,6 |
| 1982 | 25,6 | 173,9 |
Можно видеть некоторую отрицательную связь между потребительским спросом на бензин и его реальной ценой. Показатель выборочной ковариации позволяет выразить данную связь единичным числом. Для его вычисления сначала необходимо найти средние значения цены и спроса на бензин. Обозначив цену через p и спрос – через y, находим средние значения p и y, затем для каждого вычисляем отклонение величин p и y от средних и перемножаем их. Проделаем это для всех годов выборки и возьмем среднюю величину, она и будет выборочной ковариацией (Таблица 1.2).
| Таблица 1.2 | |||||
| Наблюдение | Ценаp | Спросy | _(p-p) | _(y-y) | _ _(p-p)(y-y) |
| 1973 | 103,5 | 26,2 | -39,86 | -0,07 | 2,79 |
| 1974 | 127,0 | 24,8 | -16,36 | -1,47 | 24,05 |
| 1975 | 126,0 | 25,6 | -17,36 | -0,67 | 11,63 |
| 1976 | 124,8 | 26,8 | -18,56 | 0,53 | -9,84 |
| 1977 | 124,7 | 27,7 | -18,66 | 1,43 | -26,68 |
| 1978 | 121,6 | 28,3 | -21,76 | 2,03 | -44,17 |
| 1979 | 149,7 | 27,4 | 6,34 | 1,13 | 7,16 |
| 1980 | 188,8 | 25,1 | 45,44 | -1,17 | -53,16 |
| 1981 | 193,6 | 25,2 | 50,24 | -1,07 | -53,76 |
| 1982 | 173,9 | 25,6 | 30,54 | -0,67 | -20,46 |
| Сумма: | 1433,6 | 262,7 | -162,44 | ||
| Среднее: | 143,36 | 26,27 | -16,24 | ||
Итак, при наличии n наблюдений двух переменных (x и y) выборочная ковариация задается формулой:
Cov(x,y) = 1/n*S(xi-x)(yi-y) = 1/n{(xi-x)(yi-y)+…+(xn-x)(yn-y)}
Следует отметить, что в данном примере ковариация отрицательна. Так это и должно быть. Отрицательная связь в данном примере выражается отрицательной ковариацией, а положительная связь – положительной ковариацией.
Так, например, в наблюдении за 1979 г. (p-pсредн.) = 6,34, (y-yсредн.) = 1,13, а поэтому и их произведение положительно и равно 7,16, в этом наблюдении значения реальной цены и спроса выше соответствующих средних значений следовательно, наблюдение дает положительный вклад в ковариацию.
В наблюдении за 1978 г. реальная цена ниже средней, а спрос выше среднего, поэтому (p-pсредн.) отрицательно, (y-yсредн.) положительно, их произведение отрицательно, и наблюдение вносит отрицательный вклад в ковариацию.
В наблюдении за 1974 г., как реальная цена, так и спрос, ниже своих средних значений, таким образом, (p-pсредн.) и (y-yсредн.) оба являются отрицательными, а их произведение положительно следовательно, наблюдение вносит положительный вклад в ковариацию.
И, наконец, в наблюдении за 1981 г. цена выше средней, а спрос ниже среднего. Таким образом (p-pсредн.) положительно, (y-yсредн.) отрицательно, поэтому (p-pсредн.)(y-yсредн.) отрицательно, и в ковариацию, соответственно, вносится отрицательный вклад.
Несколько основных правил расчета ковариации.
· Правило 1
Если y = v+w, то Cov(x,y) = Cov(x,v)+Cov(x,w).
· Правило 2
Если y = az, где a – константа, то Cov(x,y) = aCov(x,z)
· Правило 3
Если y = a, где a – константа, то Cov(x,y) = 0
Возьмем данные по шести семьям (домохозяйствам), приведенные в таблице 1.3: общий годовой доход (x); расходы на питание и одежду (y); расходы на питание (v) и расходы на одежду (w). Естественно, y равняется сумме v и w. Указанную в таблице величину z рассмотрим для демонстрации правила 2.
Таблица 1.3
| Семья | Доход семьи(x) | Расходы на питание и одежду(y) | Расходы на питание(v) | Расходы на одежду(w) | Вторая выборка: расходы семьи на питание и одежду(z) |
| 1 | 3000 | 1100 | 850 | 250 | 2200 |
| 2 | 2500 | 850 | 700 | 150 | 1700 |
| 3 | 4000 | 1200 | 950 | 250 | 2400 |
| 4 | 6000 | 1600 | 1150 | 450 | 3200 |
| 5 | 3300 | 1000 | 800 | 200 | 2000 |
| 6 | 4500 | 1300 | 950 | 350 | 2600 |
| Сумма: | 23300 | 7050 | 5400 | 1650 | 14100 |
| Среднее: | 3883 | 1175 | 900 | 275 | 2350 |
В таблице 1.4 величины (x-x), (y-y), (v-v) и (w-w) вычисляются для каждой семьи. Отсюда получаем (x-xсредн.)(y-yсредн.), (x-xсредн.)(v-vсредн.) и (x-xсредн.)(w-wсредн.) для каждой семьи. Cov(x,y) получается как среднее из величин (x-xсредн.)(y-yсредн.) и равняется 266250. Cov(x,v) равна 157500 и Cov(x,w) = 108750. Следовательно, Cov(x,y) является суммой Cov(x,v) и Cov(x,w).
Таблица 1.4
| Семья | _x-x | _y-y | _ _(x-x)(y-y) | _(v-v) | _ _(x-x)(v-v) | _(w-w) | _ _(x-x)(w-w) |
| 1 | -883 | -75 | 66250 | -50 | 44167 | -25 | 22083 |
| 2 | -1383 | -325 | 449583 | -200 | 276667 | -125 | 172917 |
| 3 | 117 | 25 | 2917 | 50 | 5833 | -25 | -2917 |
| 4 | 2117 | 425 | 899583 | 200 | 529167 | 175 | 370416 |
| 5 | -583 | -175 | 102083 | -100 | 58333 | -75 | 43750 |
| 6 | 617 | 125 | 77083 | 50 | 30833 | 75 | 46250 |
| Сумма: | 1597500 | 945000 | 652500 | ||||
| Среднее: | 266250 | 157500 | 108750 |
Демонстрация правила 2
В таблице 1.3 последняя колонка (z) дает расходы на питание и одежду для второго множества из 6 семей. Каждое наблюдение z фактически представляет собой удвоенное значение y. Предполагается, что значения величины x для второго набора семей являются такими же, как и ранее. Для вычисления Cov(x,z) необходимы значения (x-xсредн.), а также (z-zсредн.)
Таблица 1.5
| Семья | (x-x) | (z-z) | (x-x)(z-z) |
| 1 | -883 | -150 | 132500 |
| 2 | -1383 | -650 | 899167 |
| 3 | 117 | 50 | 5833 |
| 4 | 2117 | 850 | 1700167 |
| 5 | -583 | -350 | 204167 |
| 6 | 617 | 250 | 154167 |
| Сумма: | 3195000 | ||
| Среднее: | 532500 |
Из таблицы 1.5 можно видеть, что Cov(x,z) равна 532500, что в точности равно удвоенной Cov(x,y).
Допустим, что каждая семья в выборке имеет по два взрослых человека, и предположим, что по недоразумению мы решили вычислить ковариацию между общим доходом (x) и числом взрослых в семье (a). Естественно, что a1=a2=…=a6=2. Таким образом, aсредн .= 2. Отсюда для каждой семьи (a-aсредн.) = 0 и, следовательно, (x-xсредн.)(a-aсредн.) = 0. Поэтому Cov(x,a) = 0.
Если x и y – случайные величины, теоретическая ковариация sxyопределяется как математическое ожидание произведения отклонений величин от их средних значений:
pop.cov(x,y) =xy= E{(x)(y-y)}
Если теоретическая ковариация неизвестна, то для ее оценки может использована выборочная ковариация, вычисленная по ряду наблюдений. К сожалению такая оценка ,будет иметь отрицательное смещение.
Если x и y независимы, то их теоретическая ковариация равна нулю, поскольку:
E{(xx)(yy)} = E(xx)(yy) = 0*0
Для выборки из n наблюдений x1,…,xn выборочная дисперсия определяется как среднеквадратичное отклонение в выбоке:
Var(x) = 1/nS(x-x)2
Замечание. Определеннаятаким образом выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку теоретической дисперсии s2, которая определяется как:
1/(n-1)S(x-x)2, является несмещенной оценкой s2. Отсюда следует, что ожидаемое значение величины Var(x) равно [(n-1)/n]s2 и, следовательно, она имеет отрицательное смещение. Отметим, что если размер выборки n становится большим, то (n-1)/n стремится к единице и, таким образом, математическое ожидание величины Var(x) стремится к s2.
· Правило 1
Если y = v+w, то Var(y) = Var(v)+Var(w)+2Cov(v,w)
· Правило 2
Если y = az, где a является постоянной, то Var(y) = a2Var(z)
· Правило 3
Если y = a, где a является постоянной, то Var(y) = 0
· Правило 4
Если y = v+a, где a является постоянной, то Var(y) = Var(v)
Следует заметить, что дисперсия переменной x может рассматриваться как ковариация между двумя величинами x:
Var(x) = 1/n*(xi-x)2 = 1/n*(xi-x)(xi-x) = Cov(x,x)