Балансовый метод планирования (стр. 2 из 5)
хij – объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;
yi – объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере, - объем конечного потребления.
Этот объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.
Указание величины можно свести в табл. 1.1. Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i = 1, …, n должно выполнять соотношение
хi = хi1 + хi2 + … + хin + уi, (1.1)
означающее, что валовой выпуск хi расходуется на производственное потребление, равное хi1 + хi2 + …+ хin, и непроизводственное, равное уi. Будем называть (1.1) соотношениями баланса.
Таблица 1.1
| Производственное потребление | Конечное потребление | Валовой выпуск |
| х11 х12 … х1n х21 х22 … х 2n……………………х n1 хn2 … хnn | у1у2…уn | х1х2…хn |
Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимостными; в зависимости от этого различают натуральный и стоимостный межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостный баланс.
В. Леонтьев рассматривая развитие американской экономики в 30-е годы ХХ века, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно величины
ij = 
остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой технологии.В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема хj продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве аij хj, где аij – постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорится, линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяют и на другие виды издержек (например, на оплату труда), а также на нормативную прибыль.
Итак, согласно гипотезе линейности имеем
хij = аijхi (i, j = 1, …, n). (1.2)
Коэффициенты аij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).
Подставляя соотношения (1.2) в уравнение баланса (1.1), получаем систему n линейных уравнений относительно переменных х1, х2,…, хn:
х1 = а11 х1 + а12 х2 + … а1n хn + у1,
х2 = а21 х1 + а22 х2 + … а2n хn + у2,
…………………………………..
хn = аn1 х1 + аn2 х2 + … аnn хn + уn,
или, в матричной записи,
х = Ах + у, (1.3)
где а11 а12 … а1n х 1 у1
А = а21 а22 … а2n , х = х 2 , у = у2 .
……………. … …
аn1 аn2 … аnn
хn уnВектор х называется вектором валового выпуска, вектор у – вектором конечного потребления, а матрица А – матрицей прямых затрат. Соотношение (1.3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и у это соотношение называют также моделью Леонтьева.
2.2 Продуктивные модели Леонтьева
Определение. Матрица А ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора у ≥ 0 существует решение х ≥ 0 уравнения
х = Ах + у (2.4)
В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Другими словами, модель продуктивна, если любое конечное потребление у можно обеспечить при подходящем валовом выпуске х.
Уравнение Леонтьева (2.4) можно записать следующим образом:
(Е – А)х = у, (2.5)
где Е – единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е – А. Понятно, что если обратная матрица (Е – А)-1 существует, то из (2.5) вытекает
х = (Е – А)-1 у. (2.6)
Теорема 1 (первый критерий продуктивности).
Матрица А ≥ 0 продуктивна только тогда, когда матрица (Е – А)-1 существует и неотрицательна.
Доказательство.
Если матрица (Е – А)-1 существует и неотрицательна, то из (2.6) сразу же следует продуктивность матрицы А.
Обратно, пусть матрица А продуктивна. Рассмотрим следующие системы уравнений:
(Е – А)х = е1, (Е – А)х = е2, …, (Е – А)х = еn ,
Где е1, е2, …, еn – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы) с1 ≥ 0, с2 ≥ 0, …, сn ≥ 0, что
(Е – А)с1 = е1, (Е – А)с2 = е2, …, (Е – А)сn = еn (2.7)
Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с1 с 2, …, с n. Тогда вместо n равенств (2.7) можно написать одно:
(Е – А)С = Е.
Следовательно, матрица Е-А имеет обратную С, причем С ≥ 0.
Теорема доказана.
Теорема 2 (второй критерий продуктивности).
Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда её число Фробениуса меньше единицы.
Доказательство.
Пусть неотрицательная матрица А продуктивна. Тогда для любого неотрицательного вектора у существует решение х ≥ 0 уравнения (2.4) Пусть у > 0, тогда, очевидно, х > 0. Умножив равенство (2.4) слева на левый вектор Фробениуса рТА и учитывая, что
рТАА = λАрТА, (2.8)
получим
λ А (рТА х) + рТА у = рТА х,
или
(1 – λА)(рТА х) = рТА у.
Так как рТА ≥ 0 и у ≥ 0, х ≥ 0, то рТАу > 0, рТАх > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что λА < 1.
Обратно, пусть неотрицательная матрица А имеет число Фробениуса λА < 1. Покажем, что она продуктивна. Возьмем неотрицательный вектор у и покажем, что у системы (2.4) существует решение х ≥ 0.
Рассмотрим следующую неотрицательную матрицу размера (n + 1)(n+ 1):
а11 а12 … а1n у1
а21 а22 … а2n у2
А = …………….
аn1 аn2 … аnn уn
0 0 … 0 1
Где аij – элементы матрицы А и у1, …, уn – координаты вектора у. В более компактной форме матрицу можно записать так:
А = А у
0 1
Умножая эту матрицу слева на вектор рТ = (0, …, 0,1), легко убедиться, что
рТА = рТ.
Следовательно, одним из собственных значений матрицы А является вектор λ = 1.
Пусть вектор Х = (х1 , …, хn , хn+1 ) = (х , хn+1) является собственным вектором матрицы А, т.е. АХ = λХ. В силу определения матрицы А эторавносильно тому, что
А у х = λ х
0 1 хn+1 хn+1
или
Ах + у хn+1 = λх,
хn+1 = λ хn+1. (2.9)
Если λ ≠ 1, то из второго соотношения системы (2.9) следует, что хn+1 = 0, в силу чего первое уравнение имеет вид Ах = λх. Следовательно, λ – собственное значение матрицы А и, по нашему предположению |λ| < 1. Таким образом, λА = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор хА = ( хА , хn+1), соответствующий λА =1. Очевидно, что хn+1 ≠ 0, так как в противном случае из (2.9) следовало бы, что Ах = х. А это противоречит тому, что число Фробениуса λА < 1. Поэтому мы можем считать, что хn+1 = 1. В силу того, что хn+1 = 1, равенство (2.9) принимает вид
АхА + у = хА.
Поскольку хА = (хА, хn+1) ≥ 0, то хА ≥ 0.
Следовательно, матрица А продуктивна.
Следствие.
Если для неотрицательной матрицы А и некоторыого положительного вектора у уравнение (2.4) имеет неотрицательное решение х, то матрица А продуктивна.
Доказательство.
Как было уже показано, из существования положительного решения у уравнения (2.4) следует, что λА < 1. На основании теоремы Фробениуса матрица А продуктивна.
Теорема 3 (третий критерий продуктивности).
Неотрицательная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд
Е + А + А² + … (2.10)
Доказательство.
Пусть сходится ряд (2.10). Согласно лемме его сема равна (Е – А)-1. При этом сумма указанного ряда будет неотрицательна, поскольку все слагаемые ряда неотрицательны. Итак, матрица (Е – А)-1 существует и неотрицательна. Отсюда по теореме 1.3 следует продуктивность А.
Обратное утверждение (если А продуктивна, то ряд (2.10) сходится) доказывать не будем.
3. Вектор полных затрат
Пусть А ≥ 0. Равенство
(Е – А)-1 = Е + А + А2 + … (3.11)
справедливо, как мы уже знаем, в том случае, когда матрица А продуктивна, имеет экономический смысл.
х = у + Ау + А2у + … (3.12)
В чем смысл распадения вектора х на слагаемые у, Ау, А2у и т.д.? Для получения валового выпуска, обеспечивающего конечное потребление у, нужно прежде всего произвести набор товаров, описываемый вектором у. Но этого мало – ведь для получения у нужно затратить ( а значит, сначала произвести) продукцию, описываемую вектором Ау. Но и этого мало – для получения Ау нужно осуществить дополнительные затраты, описываемые вектором А(Ау) = А2у, и т.д. В итоге приходим к заключению, что весь валовой выпуск х должен составляться из слагаемых у, Ау, А2у и т.д., что и зафиксировано в формуле (3.12). В соответствии с этим рассуждением сумму у + Ау + А2у + … называют вектором полных затрат, а сделанное выше заключение формулируют так: вектор валового выпуска х совпадает с вектором полных затрат.