Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда (стр. 3 из 3)

;

Критические значения d‑статистики для a=0,05 и n=9 составляют: d₁=0,82; d₂=1,32. Так как выполняется условие

,

то нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод о выполнении свойства независимости. Проверим независимость остатков по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил. 4):

.

Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

Критическое значение коэффициента автокорреляции для a=0,05 и n=9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это указывает на отсутствие автокорреляции в ряде динамики. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверим равенство нулю математического ожидания уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равно нулю:

(определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; см. прил. 4). Поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле

,

где e_max; e_min- наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»);

- стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»; см. прил. 4).

Критические границы R/S-критерия для a=0,05 и n=9 имеют значения: (R/S)₁=2,7 и (R/S)₂=3,7. Так как R/S-критерий попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим нормальному закону распределения вероятностей. Модель по этому критерию адекватна.

Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.

Оценим адекватность построенной модели Брауна:

с параметром сглаживания (см. таблица 2):

Таблица 2 - Анализ ряда остатков модели Брауна

Проверяемое свойство	Используемые статистики		Граница		Вывод
	наименование	значение	нижняя	верхняя
Независимость	d–критерий Дарбина-Уотсонаr(1)-коэффициент автокорреляции	d=2,79 -0,44	0,82	1,320,666	Нельзя сделать вывод по этому критериюr(1)<0,666адекватна
Случайность	Критерий пиков (поворотных точек)	6>2	2		адекватна
Нормальность	RS-критерий	R/S=	2,7	3,7	неадекватна
Мат.ожидание≈0	t-статистика Стьюдента		2,306	адекватна
Вывод: модель статистически неадекватна

5. Оценим точность линейной модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:

%

Значение E_отн показывает, что предсказанные моделью значения спроса на кредитные ресурсы отличаются от фактических значений в среднем на 2,57 %. Модель имеет хорошую точность.

Оценим точность модели Брауна с параметром сглаживания

:

Модель Брауна также имеет хорошую точность, однако она несколько ниже, чем у линейной трендовой модели.

6. Строим точечный и интервальный прогнозы спроса на 1 и 2 недели вперед для линейной модели:

Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):

1) Точечный прогноз

:

млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение спроса равно 64,5 млн. руб.

2) Интервальный прогноз

с надежностью (доверительной вероятностью) g=0,7. необходимые расчеты приведены в таблице 3:

млн. руб.,

где t_таб=1,083 - табличное значение t-критерия Стьюдента для доверительной вероятности g=0,7.

С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 62,13 до 66,87 млн. руб.

Таблица 3

t	yt
1	43	16
2	47	9
3	50	4
4	48	1
5	54	0
6	57	1
7	61	4
8	59	9
9	65	16
Среднее	5	-	60

Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):

1) Точечный прогноз:

млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение спроса равно 66,8 млн. руб.

2) Интервальный прогноз с надежностью g=0,7:

млн. руб.,

С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 64,29 до 69,31 млн. руб.

Построим прогноз для модели Брауна на следующие 2 недели. Параметры модели, полученные для последнего уровня временного ряда (т. е. для t=n=9), используются для построения прогноза спроса по формуле:

.

Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):

млн. руб.

С вероятностью 70 % значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 63,213 до 70,361 млн. руб.

Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):

млн. руб.

Значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 65,603 до 73,167 млн. руб.

7. График временного ряда спроса строим с помощью надстройки «Диаграмма» EXCEL. Предварительно выделяется блок ячеек «t» и «y_t» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» «Диаграмма…»:

Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда…» ® «Линейная»), и устанавливаем «Прогноз» вперед на 2 единицы и назад на 1 единицу, а также вывод на диаграмме уравнения тренда и коэффициента детерминации R².