Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда (стр. 2 из 3)
При этом «новая» наибольшая выручка составит:
руб.Изменение запасов ресурсов привело не только к изменению значения целевой функции на 540 тыс. руб., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась: изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на сырье не изменялись. Новый план выпуска составляет 75 единиц изделий А и 330 ед. изделий Б.
Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия Д с заданными характеристиками, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации:
Следовательно, продукцию Д выпускать выгодно, так как затраты на нее меньше, чем ее стоимость.
ЗАДАЧА 3
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:
| t | yt |
| 1 | 43 |
| 2 | 47 |
| 3 | 50 |
| 4 | 48 |
| 5 | 54 |
| 6 | 57 |
| 7 | 61 |
| 8 | 59 |
| 9 | 65 |
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель
, параметры которой оценить МНК ( 
- расчетные, смоделированные значения временного ряда).3) Построить адаптивную модель Брауна
с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение. 1. Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для каждого уровня временного ряда рассчитывается статистика
,где
- стандартное отклонение уровней ряда.Стандартное отклонение определяется с помощью встроенной функции EXCEL «СТАНДОТКЛОН»: Sy=7,29 млн. руб. Расчет значений t для всех уровней ряда, начиная со второго. Табличное значение критерия Ирвина для уровня значимости a=0,05 и длины временного ряда n=9 составляет l=1,5. Видно, что ни одно из значений lt не превышает критического значения, что свидетельствует об отсутствии аномальных наблюдений.
2. Линейную трендовую модель
строим с помощью надстройки EXCEL «Анализ данных… Регрессия»:Уравнение линейного тренда имеет вид (см. «Коэффициенты»):
.Угловой коэффициент показывает, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании за одну неделю возрастает в среднем на 2,58 млн. руб.
Коэффициент детерминации уравнения R2»0,941 превышает критическое значение
для a=0,05 и n=9, что свидетельствует о статистической значимости линейной модели и наличии устойчивого линейного тренда во временном ряду. Само значениеR2 показывает, что изменение спроса во времени на 94,1 % описывается линейной моделью.3. Построение адаптивной модели Брауна. Модель Брауна строится в несколько этапов.
1) По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а0 и а1 линейной модели
.Получаем начальные значения параметров модели Брауна
и 
, которые соответствуют моменту времени t=0 (определены с помощью функций EXCEL «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» соответственно. 
2) Находим прогноз на первый шаг (t=1):
.3) Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического:
.4) Скорректируем параметры модели для параметра сглаживания
=0,4 по формулам: 
; 
,где
- коэффициент дисконтирования данных, отражающий степень доверия к более поздним наблюдениям; - параметр сглаживания ( = 
); 
- отклонение (остаточная компонента).По условию
=0,4, следовательно значение b равно: 
.Получим:
; 
,5) По модели со скорректированными параметрами a0(t) и a1(t) находим прогноз на следующий момент времени:
.Для t=2:
.6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда.
7) Вычислим среднюю относительную ошибку для данного параметра сглаживания:
8) Корректировка параметров модели для
=0,7 и =0,3: 
; 
9) Средняя относительная ошибка для данного параметра:
Таким образом, судя по средней относительной ошибке при
=0,4 и =0,7, в первом случае 
=4,1%, а во втором случае =5,0%. Следовательно, =0,4 – лучшее значение параметра сглаживания, т.к. средняя относительная ошибка меньше.4. Оценим адекватность линейной модели. Рассчитанные по модели значения спроса
, остатки 
и их график были получены вEXCEL одновременно с построением модели (см. «ВЫВОД ОСТАТКА» в прил. 4).Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек. В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p=4.
Критическое число поворотных точек для a=0,05 и n=9 определяется по формуле
Так как
, остатки признаются случайными.Проверим независимость остатков с помощью критерияДарбина–Уотсона (отсутствие автокорреляции).Для расчетаd‑статистики используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:
d‑статистика имеет значение (см. прил. 4):
;