Анализ рядов распределения (стр. 3 из 6)

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия выработки:

Среднее квадратическое отклонение выработки отдельных рабочих от средней выработки:

.

2.1.1 Расчет дисперсии способом моментов

Вычисление дисперсий связано с громоздкими расчетами (особенно если средняя величина выражена большим числом с несколькими десятичными знаками). Расчеты можно упростить, если использовать упрощенную формулу и свойства дисперсии.

Дисперсия обладает следующими свойствами:

если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же величину А, то дисперсия от этого не уменьшится:

,

если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (hраз), то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в

раз.

То есть, если дисперсию уменьшенных значений признака описать следующим выражением

, то или

Используя свойства дисперсии и сначала уменьшив все варианты совокупности на величину А, а затем разделив на величину интервала h, получим формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами способом моментов:

,

где

- дисперсия, исчисленная по способу моментов;

h- величина интервала вариационного ряда;

- новые (преобразованные) значения вариант;

А- постоянная величина, в качестве которой используют середину интервала, обладающего наибольшей частотой; либо вариант, имеющий наибольшую частоту;

- квадрат момента первого порядка;

- момент второго порядка.

Выполним расчет дисперсии способом моментов на основе данных о сменной выработке рабочих бригады.

Таблица 4 - Расчет дисперсии по способу моментов

Группы рабочих по выработке, шт.	Число рабочих,	Середина интервала,	Расчетные значения
170-190	10	180	-2	-20	40
190-210	20	200	-1	-20	20
210-230	50	220	0	0	0
230-250	20	240	1	20	20
Итого	100	-	-	-20	80

Порядок расчета:

определяем постоянное число А, это варианта с наибольшей частотой: А=220;

определяем

;

рассчитываем

и ;

определяем моменты 1-го и 2-го порядка:

рассчитываем дисперсию:

2.1.2 Расчет дисперсии альтернативного признака

Среди признаков, изучаемых статистикой, есть и такие, которым свойственны лишь два взаимно исключающих значения.

Это альтернативные признаки.

Им придается соответственно два количественных значения: варианты 1 и 0.

Частостью варианты 1, которая обозначается p, является доля единиц, обладающих данным признаком. Разность 1-р=q является частостью варианты 0. Таким образом,

хi	wi
1	p
0	q

Средняя арифметическая альтернативного признака

, т.кp+q=1.

Дисперсия альтернативного признака

, т.к1-р=q

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающих этим признаком.

Если значения 1 и 0 встречаются одинаково часто, т.е. p=q, дисперсия достигает своего максимума pq=0,25.

Дисперсия альтернативного признака используется в выборочных обследованиях, например, качества продукции.

2.1.3 Межгрупповая дисперсия. Правило сложения дисперсий

Дисперсия, в отличие от других характеристик вариации, является аддитивной величиной. То есть в совокупности, которая разделена на группы по факторному признаку х, дисперсия результативного признака y может быть разложена на дисперсию в каждой группе (внутригрупповую) и дисперсию между группами (межгрупповую). Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучение вариации в каждой группе, а также между этими группами.

Общая дисперсия

измеряет вариацию признака у по всей совокупности под влиянием всех факторов, вызвавших эту вариацию (отклонения). Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака у от общей средней и может быть вычислена как простая или взвешенная дисперсия.

Межгрупповая дисперсия

характеризует вариацию результативного признака у, вызванную влиянием признака-фактора х, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию групповых средних и равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней :

,

где

- средняя арифметическая i-той группы;

- численность единиц в i-той группе (частота i-той группы);

- общая средняя совокупности.

Внутригрупповая дисперсия

отражает случайную вариацию, т.е. ту часть вариации, которая вызвана влиянием неучтенных факторов и не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию индивидуальных значений относительно групповых средних, равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака у внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней) и вычисляется как простая или взвешенная дисперсия для каждой группы:

или ,

где

- число единиц в группе.

На основании внутригрупповых дисперсий по каждой группе можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:

.

Взаимосвязь между тремя дисперсиями получила название правила сложения дисперсий, согласно которому общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий:

Пример. При изучении влияния тарифного разряда (квалификации) рабочих на уровень производительности их труда получены следующие данные.