Анализ рядов распределения (стр. 2 из 6)

Вариант 1. Если бензоколонку поставить в середине шоссе, т.е. на 50-ом километре (центр диапазона изменения признака), то пробеги с учетом числа ездок составят:

а) в одном направлении:

;

б) в противоположном:

;

в) общий пробег в оба направления:

.

Вариант 2. Если бензоколонку поставить на среднем участке шоссе, определенном по формуле средней арифметической с учетом числа ездок:

Тогда пробеги составят:

а) в одном направлении:

б) в противоположном:

;

в) общий пробег в оба направления, равный

меньше, чем в первом варианте на 438,5 км.

Вариант 3. Если поставить бензоколонку на 78-м километре, что будет соответствовать медиане по количеству ездок (накопленное число ездок для 60 км - 95, для 78 км - 125).

Тогда пробеги составят:

а) в одном направлении:

б) в противоположном:

;

в) общий пробег:

, меньше общих пробегов, рассчитанных по предыдущим вариантам.

Таким образом, медиане соответствует наилучший результат, т.е. минимальный общий пробег.

Медиану можно определить графически, по кумуляте (см. лекцию "Сводка и группировка статистических данных"). Для этого последнюю ординату, равную сумме всех частот или частостей, делят пополам. Из полученной точки восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и дает значение медианы.

1.3 Показатели дифференциации

Если возникает необходимость изучить структуру вариационного ряда более подробно, вычисляют значения признака, аналогичные медиане. Такие значения признака, которые делят все единицы распределения на равные численности, называют квантилями, или градиентами. Квартили и децили - частные случаи квантилей.

Квартилями (Q) называют значения признака, которые делят совокупность на четыре равные по числу единиц части. Децили (D) - признаки, делящие совокупность на десять равных частей.

Следовательно, кроме медианы, в ряду распределения имеются три квартиля и девять децилей. Медиана одновременно является вторым квартилем и пятым децилем. Расчет первого (Q₁) и третьего (Q₃) квартилей аналогичен расчету медианы, только вместо медианного интервала берется для первого квартиля интервал, в котором находится варианта, отсекающая ¼ численности частот, а для третьего квартиля - ¾ численности частот:

и .

Логика построения квинтилей и децилей аналогична.

2. Характеристики вариации

Показатели вариации характеризует колеблемость индивидуальных значений признака по отношению к среднему значению, что не менее важно, чем определение самой средней. Средняя не показывает строения совокупности, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом велика.

Это можно показать на таком примере. Предположим, что две бригады из 3-х человек каждая выполняют одинаковую работу. Количество деталей, изготовленных за смену отдельными рабочими, составило:

в первой бригаде - 95, 100, 105;

во второй бригаде - 75, 100, 125.

Средняя выработка на одного рабочего в бригадах составила

, .

Средняя выработка одинакова, но колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде значительно меньше, чем во второй.

Следовательно, чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот - варианты, мало отличающиеся друг от друга, более близки по значению к средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность.

Поэтому для характеристики и измерения вариации признака в совокупности кроме средней используют следующие показатели:

абсолютные - вариационный размах, среднее линейное и среднее квадратическое отклонение, дисперсию;

относительные - коэффициенты вариации.

2.1 Абсолютные характеристики вариации

Вариационный размах (или размах вариации) - это разница между максимальным и минимальным значениями признака:

В нашем примере размах вариации сменной выработки рабочих составляет: в первой бригаде R=105-95=10 дет., во второй бригаде R=125-75=50 дет. (в 5 раз больше). Это говорит о том, что выработка 1-й бригады более "устойчива", но резервов роста выработки больше у второй бригады, т.к в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки, ею может быть изготовлено 3*125=375 деталей, а в 1-й бригаде только 105*3=315 деталей.

Если крайние значения признака не типичны для совокупности, то используют квартильный или децильный размахи. Квартильный размах R_Q= Q₃-Q₁ охватывает 50% объема совокупности, децильный размах первый R_D1 = D₉-D₁охватывает 80% данных, второй децильный размах R_D2= D₈-D₂ - 60%.

Недостатком показателя вариационного размаха является, но что его величина не отражает все колебания признака.

Простейшим обобщающим показателем, отражающим все колебания признака, является среднее линейное отклонение, представляющее собой среднюю арифметическую абсолютных отклонений отдельных вариант от их средней величины: для несгруппированных данных

,

для сгруппированных данных

,

где х_i- значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении.

В вышеприведенных формулах разности в числителе взяты по модулю, иначе, согласно свойству средней арифметической, числитель всегда будет равен нулю. Поэтому среднее линейное отклонение в статистической практике применяют редко, только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знака имеет экономический смысл. С его помощью, например, анализируется состав работающих, рентабельность производства, оборот внешней торговли.

Дисперсия признака - это средний квадрат отклонений вариант от их средней величины:

простая дисперсия

,

взвешенная дисперсия

.

Формулу для расчета дисперсии можно упростить:

Таким образом, дисперсия равна разности средней из квадратов вариант и квадрата средней из вариант совокупности:

.

Однако, вследствие суммирования квадратов отклонений дисперсия дает искаженное представление об отклонениях, поэтому ее на основе рассчитывают среднее квадратическое отклонение, которое показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от их среднего значения. Вычисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии:

для несгруппированных данных

,

для вариационного ряда

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность, тем более надежной (типичной) будет средняя величина.

Среднее линейное и среднее квадратичное отклонение - именованные числа, т.е. выражаются в единицах измерения признака, идентичны по содержанию и близки по значению. Рассчитывать абсолютные показатели вариации рекомендуется с помощью таблиц.

Таблица 3 - Расчет характеристик вариации (на примере срока данных о сменной выработке рабочих бригады)

Группы рабочих по выработке, шт.	Число рабочих,	Середина интервала,	Расчетные значения
170-190	10	180	1800	-36	360	1296	12960
190-210	20	200	4000	-16	320	256	5120
210-230	50	220	11000	4	200	16	800
230-250	20	240	4800	24	480	576	11520
Итого:	100	-	21600	-	1360	-	30400

Среднесменная выработка рабочих: