Несмотря на то что ценность различных ресурсов , определяемая
значениями переменных Yi , была представлена в стоимостном выражении, ее нельзя отождествлять с действительными це-
нами, по которым возможна закупка соответствующих ресурсов.
На самом деле речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую
природу н количественно характеризующей ценность ресурса только относительно полученного оптимального значения целевой функции .
При изменении ограничении модели соответствующие экономические
оценки будут меняться даже тогда , когда оптимизируемый процесс
предполагает применение тех же ресурсов . Поэтому при характерис-
тике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать
такие терминыт , как теневая цена , скрытая цена , или более специ-
фичный термин — двойственная оценка .
Заметим , что теневая цена ( ценность ресурса ) характеризует ин-
тенсивность улучшения оптимального значения Z . Однако при этом
не фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурса ,
при которых интенсивность улучшения целевой функции остается
постоянной . Для большинства практических ситуаций логично пред-
положить наличие верхнего предела увеличения запасов , при пре-
вышении которого соответствующее ограничение становится избы-
точным , что в свою очередь приводит к новому базисному решению
и соответствующим ему новым теневым ценам . Ниже определяется
нитервал значений запасов ресурса , при которых соответствую-
щее ограничение не становится избыточным .
При решении вопроса о том , запас какого из ресурсов следует
увеличивать в первую очередь , обычно используются теневые цены
Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса ,
прикоторых теневая цена данного ресурса , ( фигурирующая в заклю-
чительной симплекс-таблице , остается неизменной , необходимо выполнить ряд дополнительных вычислений . Рассмотрим сначала
соответствующие вычислительные процедуры , а затем покажем , как
требуемая информация может быть получена из симплекс-таблицы
для оптимального решения .
В нашей задаче запас первого ресурса изменился на D1 т. е. запас бюджета составит 1000 + D1. При положительной величинеD1 запас данного ресурса увеличивается, при отрицательной — уменьшается. Как правило, исследуется ситуация, когда объем ресурса увеличивается ( D1 > 0 ) , однако , чтобы получить результат в общем виде , рассмотрим оба случая .
Как изменится симплекс-таблица при изменении величины за-
паса ресурса на D1? Проще всего получить ответ на этот вопрос .
если ввестиD1в правую часть первого ограничения начальной сим-
плекс-таблицы и затем выполнить все алгебраические преобразова-
ния , соответствующие последовательности итераций . Поскольку
правые части ограничений никогда не используются в качестве
ведущих элементов , то очевидно , что на каждой итерацииD1будет
оказывать влияние только на правые части ограничений .
| Уравнение | Значения элементов правой части на соответствующих итерациях | ||
| ( начало вычислений ) | 1 | 2 (оптимум) | |
| Z | 0 | 0 | 2455/11 |
| 1 | 1000 | 1000 + D1 | 1000/55 + D1 |
| 2 | 0 | 0 | 91/11 |
Фактическивce изменения правых частей ограничений , обуслов-
ленные введением D1, можно определить непосредственно по данным ,
содержащимся в симплекс-таблицах . Прежде всего заметим , что
на каждой итерации новая правая часть каждого ограничения пред-
ставляет собой сумму двух величин:1) постоянной и 2) члена , ли-
нейно зависящего от D1. Постоянные соответствуют числам , которые
фигурируют на соответствующих итерациях в правых частях ограниченийсимплекс-таблиц до введения D1. Коэффициенты приD1во вторых слагаемых равны коэффициентам при S1 на той же итерации . Так , например , на последнеи итерации ( оптимальное решение ) постоянные ( 2455/11 ; 1000/55 ; 91/11) представляют собои числа,фигурирующие в правых частях ограничении оптимальной симплекс-таблицы до введения D1. Коэффициенты ( 27/110 ; 1/55 ; 1/110) равны коэффициентам при S1 в той же симплекс-таблице потому , что эта переменная связана только с первым ограничением . Другими словами , при анализе влияния изменений в правой части второго ограничения нужно пользоваться коэффициентами при переменной S2 .
Какие выводы можно сделать из полученных результатов?
Так как введение D1 сказывается лишь на правой части симплекс-
таблицы, изменение запаса ресурса может повлиять только на
допустимость решения . ПоэтомуD1 не может принимать значений,
при которых какая-либо из (базисных) переменных становится отри-
цательной. Из этого следует, что величина D1 должна быть огра-
ничена таким интервалом значений, при которых выполняется ус-
ловие неотрицательности правых частей ограничений в результи-
рующей симплекс-таблице , т . е .
X1 = 1000/55 + ( 1/55 )D1=> 0 ( 1 )
X2 = 91/11 + ( 1/110 )D1=> 0( 2 )
Для определения допустимого интервала изменения D1рассмо-
трим два случая .
Случай 1:D1=>0Очевидно , что оба неравнества при этом условии всегда будут неотрицательными .
Случай 2:D1<0 .
( 1/55 )D1=> - 1000/55 . Из этого следует , что D1=> - 1000
( 2 )
( 1/110 )D1=> - 91/11 . Из этого следует , что D1=> - 1000
Объединяя результаты , полученные для обоих случаев , можно
сделать вывод , что при - 1000 <= D1<= + ¥решение рассматриваемой зада-
чи всегда будет допустимым , любое значение D1, выходящее за
пределы указанного интервала , приведет к недопустимости решения и
новой совокупности базисных переменных .
Теперь рассмотрим в каких пределах может изменяться запас ресурса 2 анализ проведем по аналогичной схеме :
Запас 2-ого ресурса изменился на D2т . е . запас рекламного времени составит 0 + D2 . Как изменилась симплекс-таблица при изменении величины запаса ресурса на D2.
| Уравнение | Значения элементов правой части на соответствующих итерациях | ||
| ( начало вычислений ) | 1 | 2 (оптимум) | |
| Z | 0 | 0 | 2455/11 |
| 1 | 1000 | 1000 | 1000/55 |
| 2 | 0 | 0 + D2 | 91/11 + D2 |
Найдем интервал ограничивающий величинуD2
X1 = 1000/55 - ( 50/55 )D2 ( 1 )
X2 = 91/11 + ( 1/22 )D2 ( 2 )
Для определения допустимого интервала изменения D1рассмо-
трим два случая .
Случай 1:D2=>0: ( 1 )
( 50/55 )D2 <= 1000/55из этого неравенства следует , что D2<= 20
( 2 )
Очевидно , что 2-ое уравнение неотрицательно на данном участке .
Объединяя 2 уравнения для Случая 1 мы получим интервал для D2.
D2 Î [ 0 ; 20 ]
Случай 2:D2<0 . : ( 1 )
( 50/55 )D2 => - 1000/55 . Из этого следует , что D2<= 20
( 2 )
( 1/22 )D2 => - 91/11 . Из этого следует , что D2=> - 200
Объединяя 2 уравнения для Случая 2 мы получим интервал для D2.
D2 Î [ - 200 ; 0 ]
Объединяя 2 случая мы получим интервал [ - 200 ; 20 ]
Наряду с определением допустимых изменений запасов ресур-
сов представляет интерес и установление интервала допустимых
изменений коэффициентов удельной прибыли ( или стоимости ) .
Следует отметить, что уравнение целевой функции никогда не используется в качестве ведущего уравнения . Поэтому лю-
бые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние
только на Z-уравнение результирующей симплекс-таблицы. Это
означает, что такие изменения могут сделать полученное решение
неоптимальным. Наша цель заключается в том, чтобы найти интер-
валы значений изменений коэффициентов целевой функции ( рас-
сматривая каждый из коэффициентов отдельно ) , при которых оп-
тимальные значения переменных остаются неизменными .
Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисле-
ния , положим , что удельный объем сбыта , ассоциированной с переменной
X1изменяется от 1 до 1 + d1гдеd1 может быть как положительным , так и отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает следующий вид: