Типы регулярных регуляторов (стр. 2 из 4)
W (p) = k / p* (3)
Если входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, то из выраженияdxВЫХ / dt = kxВХ следует, что коэффициент k имеет размерность c-1. В этом случае дифференциальное уравнение dxВЫХ / dt = kxВХ удобнее представить в виде
dxВЫХ / dt = xВХ / Т, (4)
где Т=1/k
При этом передаточная функция звена примет вид
W (p) = 1 / Tp (5)
Величину Т называют постоянной времени интегрирующего звена.
Рисунок 5. Передаточная функция и временная характеристика интегрирующего звена.
На рис.5 Представлен характер изменения выходной величины интегрирующего звена при подаче на его вход постоянной входной величины x0ВХ, изображение которой xВХ (p)=x0ВХ / р
Тогда из уравнения W (p)= 1 / Tp получим
x0ВХ = L-1 [xВЫХ (p)] = L-1 [kx0ВХ / p2] = kx0ВХ * t (6)
Таким образом, в этом случае xвых изменяется по прямой, проходящей через начало координат под углом a=arktkxвх оси абсцисс.
Из передаточной функции W(p)= 1/Tp звена W(p)=k/pопределяем
 |
W (i w) = k / j w = - j k / w; U (w) = 0;
V (w) = - k / w; W (w) = k / w; j (w) = - p / 2 (7)
Согласно формуле
W (iw) = ke– jp / 2 / w. (8)
Рисунок 6. Частотные характеристики интегрирующего звена.
Частотные характеристики представлены на рис. 6, из которого следует, что а) КЧХ звенаW (jw) при изменение wот 0 до ¥ совпадает с отрицательной мнимой полуосью (рис.6а);
б) при всех частотах выходные колебания отстают по фазе от входных на угол 90° (рис.6в)
в) АЧХ представляет собой гиперболу, т.е. чем меньше частота входного сигнала, тем больше этот сигнал усиливается звеном. При w = 0 коэффициент усиления равен бесконечности, и, наоборот, при w = ¥ коэффициент усиления звена равен нулю (рис.6б).
Логарифмируя W (w) в (7), получаем
L (w) = 20 lg k – 20 lg w (9)
Таким образом, ЛАЧХ представляет собой прямую линию, пересекающую при k = 0 ось абсцисс в точке w = 1 и имеющую наклон к оси абсцисс 20 дБ / дек. При k¹ 1 ЛАЧХ перемещается параллельно оси ординат на величину 20 lgk(рис.7а)
Рисунок 7. Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена.
Логарифмическая фазо-частотная характеристика не зависит от частоты и равна - p / 2 (рис.7б). На рис.7 на оси абсцисс для сравнения указаны значения w и lgw , а также нанесена координатная сетка частот.
Пример1.
Определим динамические свойства гидравлического механизма (рис.8) , который широко применяется в современных системах регулирования. Входной величиной для него является перепад давления pВХ = p1 - p2, а выходной – перемещение DsВЫХ поршня.
Рисунок 8. Примеры интегрирующих звеньев.
Сила давления на поршень равна p = (p01 - p02) F, где F- эффективная площадь поршня. Если пренебречь трением и инерцией поршня. То можно считать, что это усилие целиком расходуется преодоление внешней нагрузки, приложенной к поршню (сопротивление перемещению регулирующего органа, заслонки, шибера и т.п.):
рВ.Н = (p01 - p02) F (10)
При небольших отклонениях от состояния равновесия расходы жидкости через вентили В1 и В2 пропорциональны перепадам давления на вентилях
Q1 = k1(p1 - p01); Q2 = k2(p02 - p2) (11)
Так как Q1 = Q2 , то решив совместно уравнения (10) и (11), получим
p01 = [(F (k1 p1 + k2 p2) +k2 рВ.Н )] / F (k1 +k2) (12)
Поступление жидкости за бесконечно малый отрезок времени в левую полость исполнительного механизма при расходе Q1 составляет Q1 dt. За счёт этого поршень перемещается на величину dsВЫХ.
Так как объём поступившей жидкости равен приращению объёма левой полости исполнительного механизма, то Q1 dt = FdsВЫХ или dsВЫХ / dt = Q1 / F1.
Подставив в это выражение из (11) значение Q1, с учётом (12) получим
dsВЫХ / dt = [k1 k2 F (p1 - p2) - k1 k2 fВ.Н] / F2 (k1 +k2) (13)
В этом случае, если можно пренебречь величиной внешней нагрузки рв.н. Уравнение примет вид dsВЫХ / dt = kDPВХ, где k = [k1 k2 / (k1 + k2)] / F; DPВХ =p1 - p2; k – коэффициент передачи интегрирующего звена, значение которого можно изменять в широких пределах с помощью вентилей В1 и В2.
Таким образом дифференциальное уравнение гидравлического исполнительного механизма имеет вид dxВЫХ / dt = kxВХ ; следовательно, в динамическом отношении он является динамическим звеном.
Дифференцирующее звено.
Выходная величина дифференцирующего звена пропорциональна производной по времени от входной величины:
xВЫХ = kdхВХ / dt(14)
Передаточная функция
W (p) = kp. (15)
Из выражения хВЫХ = kdхВХ/ dt следует, что выходная величина дифференцирующее звена пропорциональна скорости изменения входной величины, Если входная и выходная величина имеют одинаковую размерность, то коэффициент kвыражается в секундах. В этом случае его принято обозначать Т и называть постоянной времени дифференцирующего звена.
Частотные характеристики идеального дифференцирующего звена с придаточной функцией W (p) = k p имеют вид
 |
W (i w) = j w k; U (w) = 0;
V (w) = w k; W (w) = k w; j (w) = p / 2 (16)
Рисунок 9. Частотная характерика дифференцирующего звена.
В комплексной показательной форме W (iw) = wkejp / 2. Эти характеристики представлены на рис. 9. Комплексная частотная характеристика дифференцирующего звена совпадает с положительной мнимой полуосью (рис.9а). При всех частотах выходные колебания опережают по фазе входные колебания на угол 90°, т.к. фазочастотная характеристика не зависит от частоты и равна p / 2 (рис.9в).
Амплитудно-частотная характеристика W (w) имеет вид прямой линии, проходящей через начало координат под углом a = arctgk.
Чем больше частота входных колебаний, тем больше они усиливаются звеном. При малых частотах (w = 0) сигнал через звено не проходит (рис.9б). Скачкообразное единичное изменение входной величины вызывает мгновенное изменение выходной величины от 0 до ¥ и мгновенный спад её от ¥ до 0.
Логарифмируя W (w) в выражении (16), получаем
L (w) = 20 lg k + 20 lg w (17)
Рисунок 10. Логарифмические частотные характеристики частотного звена.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) дифференцирующего звена представляет собой прямую (рис. 10а) с наклоном +20 дБ / дек, ордината, которой при w = 1 равна 20 lgk.
Фазочастотная характеристика звена в полулогарифмическом масштабе в соответствии с (16) представлена на рис.10б.
Примером дифференцирующего звена может служить тахогенератор, если за его входную величину принять угол поворота его вала bВХ, а за выходную величину – напряжение UВЫХ тахогенератора, т.к. последнее пропорционально угловой скорости wВЫХ, которая, в свою очередь, равна производной от угла поворота UВЫХ = kВХ = k dbВХ / dt.
Реальное интегрирующее звено.
В динамическом отношении реальное интегрирующее звено определяется дифференциальным уравнением
Td2xВЫХ / dt2 + dxВЫХ / dt= kxВХ (18)
Передаточная функция звена
W (p) = k / p (Tp + 1) (19)
Из этого выражения следует, что реальное интегрирующее звено можно рассматривать как последовательное соединение идеального интегрирующего и апериодического звеньев. Коэффициент k реального интегрирующего звена равен коэффициенту передачи идеального интегрирующего звена.