Рациональные методики поиска оптимальных путей сетевых графиков и их автоматизация на ЭВМ (стр. 3 из 6)

; (2.6)

, (2.7)

где

– поздний срок окончания работы, исходящей из -го события и входящей в -е событие, ;

– поздний срок начала данной работы, ;

– длительность этой работы, ;

– позднее окончание события, в которое входит рассматриваемая работа, .

Полный резерв времени некоторой работы – это максимальное время, на которое можно отсрочить её начало или увеличить продолжительность, не изменяя директивного срока наступления завершающего события сетевого графика:

, (2.8)

где

– полный резерв времени работы, исходящей из -го события и входящей в -е событие, .

Свободный резерв времени некоторой работы – максимальное время, на которое можно отсрочить её начало или увеличить её продолжительность при условии, что все события наступают в свои ранние сроки:

, (2.9)

где

– свободный резерв времени работы, исходящей из -го события и входящей в -е событие, .

В качестве примера, который потребуется и в дальнейшем, основные рассмотренные параметры сетевого графика рассчитаны для случая, представленного на рисунке 2.1 . Здесь, длительности работ, являющиеся исходными данными для расчёта, выбраны произвольным образом. Параметры работ обозначены соответствующими символами возле стрелок. Параметры событий отражены в трёх квадрантах соответствующих кружков. В левых квадрантах отражены значения ранних сроков свершения событий. В правых – значения поздних сроков свершения событий. В верхних – значения резервов времени событий.

Как говорилось в предыдущем разделе, длительность критического пути легко найти из расчёта параметров сетевого графика. Теперь можно сказать, чему она равна, – она равна сроку свершения завершающего события сетевого графика и, соответственно, определяет длительность выполнения всех проектных работ. Последнее заключается в том, что проектные работы не могут завершиться в срок, меньший, чем длительность критического пути, и в тоже время, если все проектные работы выполняются вовремя, то срок их завершения равен длительности критического пути.

3 Обоснование рациональных методик поиска особых путей сетевых графиков

Обоснование рациональных методик поиска особых путей сетевого графика основано на смысле полного резерва времени работы, который показывает, на сколько можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы без изменения продолжительности всего проекта. Надо сказать, что этот смысл вытекает из правил расчёта сетевого графика и давно известен, поэтому сейчас он не требуется в специальном рассмотрении. Важно другое – из смысла полного резерва времени работы следует истинность следующего утверждения, на котором основаны некоторые, приводимые ниже доказательства, – полный резерв времени работы может появиться только за счёт существования другого более длительного пути, нежели путь, в состав которого входит рассматриваемая работа. Это утверждение становится очевидным, если подумать – за счёт чего, у некоторой работы, может появиться возможность отсрочить начало её выполнения или увеличить её продолжительность без изменения срока свершения завершающего события сетевого графика? Естественно, только за счёт того, что этот срок свершения определяется другим, более продолжительным путём.

Начнём с доказательства методики поиска критического пути сетевого графика. Для этого рассмотрим ряд вспомогательных теорем.

Теорема 3.1 – Для того, чтобы некоторый путь сетевого графика был бы критическим, необходимо и достаточно, чтобы полные резервы времени всех входящих в него работ были бы равны нулю.

Необходимость – Если некоторый путь является критическим, то полные резервы времени всех входящих в него работ равны нулю.

Докажем это утверждение методом от противного.

Пусть известно, что некоторый рассматриваемый путь заведомо критический. Теперь предположим противное – на нём лежит хотя бы одна работа с ненулевым резервом времени. Это означает, что есть другой путь, с большей продолжительностью, чем рассматриваемый, за счёт чего и получается данный резерв времени. Но, раз имеется более продолжительный путь, то рассматриваемый путь уже не может быть критическим. Полученное противоречие доказывает невозможность существования на критическом пути работы с ненулевым полным резервом времени, так как в противном случае, он уже не будет являться критическим. Тогда, для любой работы критического пути остаётся другая возможная ситуация – её полный резерв времени равен нулю. Утверждение доказано.

Поскольку любой сетевой график имеет критический путь, то есть путь с наибольшей продолжительностью, то, на основании только что доказанного, в любом сетевом графике можно найти путь, работы которого имеют только нулевые полные резервы времени.

Достаточность – Если все работы некоторого пути имеют нулевые полные резервы времени, то этот путь обязательно является критическим.

Если некоторый путь имеет работы только с нулевыми полными резервами времени, то это означает, что ни одну работу, указанного пути, нельзя увеличить по длительности без изменения срока свершения завершающего события сетевого графика. Это возможно, только когда сумма длительностей работ, рассматриваемого пути равна сроку свершения завершающего события, то есть длительности критического пути. Тогда, рассматриваемый путь и является критическим, в силу того, что он равен критическому пути по длительности. Утверждение доказано.

Теорема 3.2 – Если в некоторое событие сетевого графика входит работа с нулевым полным резервом времени, то среди всех исходящих из данного события работ, обязательно найдётся хотя бы одна, имеющая также нулевой резерв времени. То есть, работы с нулевыми резервами времени следуют друг за другом непрерывно.

Для доказательства данной теоремы рассмотрим обобщенный пример на рисунке 3.1 , где, в целях удобства, событиям присвоены условные номера.

Докажем теорему методом от противного.

Пусть для работы, входящеё в событие 2, полный резерв времени . Предположим противное – среди всех работ, исходящих из события 2, нет ни одной работы с нулевым полным резервом времени.

Для начала найдём, чему равен поздний срок свершения события 2. Он, в соответствии с формулой (2.2), определяется как минимальное время позднего начала работы среди всех работ, исходящих из рассматриваемого события. Пусть поздний срок свершения события 2 равен позднему началу работы, входящей, например, в событие 4:

,

или, в соответствии с выражением (2.8) для полного резерва времени,

. (3.1)

Теперь рассмотрим, какое может иметь значение полный резерв времени работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2. В соответствии с формулой (2.8):

. (3.2)

Из формулы (3.2) видно, что минимально возможное значение полного резерва времени работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2, достигается тогда, когда величина

достигает своего максимального значения. Из правила определения раннего срока свершения события, задаваемого формулой (2.1), следует, что максимальное значение этой величины может быть равно только раннему сроку свершения события 2, когда ранний срок окончания рассматриваемой работы самый большой из всех ранних сроков окончания работ, входящих в событие 2. Тогда, минимально возможное значение полного резерва времени работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2 равно: