Прогнозирование макроэкономических переменных с помощью дублирующих портфелей (стр. 3 из 7)

(1.6)

Малое значение коэффициента свидетельствует о слабой связи, значение, близкое к 1, характеризует очень сильную связь и часто позволяет предположить наличие функциональной причинно-следственной связи. Затем проверяют значимость коэффициента корреляции по критерию Стьюдента t_j,k:

(1.7)
где k=n-2 – число степеней свободы.

При выполнении неравенства t*>y_j,k гипотеза о не значимости коэффициента парной корреляции отвергается, т.е. y_t зависит от фактора времени. Затем выбирают математическую модель взаимосвязи показателя от времени и рассчитывают критерии точности полученной модели.

(1.8)

(1.9)

(1.10)
где – средняя относительная ошибка;

– корреляционные отношения;

S₂ – остаточная дисперсия;

– среднеквадратическое отклонение, рассчитанное по формуле:

(1.11)
где p- количество расчетных коэффициентов уравнения тренда.

Затем делают расчет точечной и интервальной оценки прогноза:

(1.12)

(1.13)
где y_n+1 – прогнозируемая величина.

С помощью этих методов экстраполируются количественные параметры больших систем, количественные характеристики экономического, научного, производственного потенциала, данные о результативности научно-технического прогресса, характеристики соотношения отдельных подсистем, блоков, элементов в системе показателей сложных систем и др .

Анализ показывает, что ни один из существующих методов не может дать достаточной точности прогнозов на 20—25 лет. Применяемый в прогнозировании метод экстраполяции не дает точных результатов на длительный срок прогноза, потому что данный метод исходит из прошлого и настоящего, и тем самым погрешность накапливается. Этот метод дает положительные результаты на ближайшую перспективу прогнозирования тех или иных объектов — на 5—7 лет.

При экстраполяции часто используются линейные модели. Они требуют относительно небольшого количества вычислений и по тому, в частности, широко распространены в практике прогнозирования. Их недостаток, заключающийся в том, что лишь немногие явления в экономике могут быть адекватно описаны в линейном виде, отчасти преодолевается с помощью кусочно-линейной аппроксимации.

2 ДУБЛИРУЮЩИЕ ПОРТФЕЛИ

2.1 Понятие дублирующего портфеля

Изменение доходности активов, помимо прочих вещей, отражает изменения информации об экономических условиях в будущем. Изучение влияния различных экономических шоков на цены активов важно также и потому, что это помогает выявить природу экономических колебаний, оценить премию за риск и предсказать экономические колебания в будущем. Звеном, связывающим цены активов с новостями о состоянии экономики, является «дублирующий портфель» (tracking portfolio). Данный портфель представляет собой портфель активов, доходности которых максимально коррелированны с такими экономическими переменными как ожидаемые объем производства, инфляция или доходность.

В прикладных финансах давно сформировался подход связывать текущие доходности одного актива с доходностью других. Второй подход состоит в попытке объяснить поведение доходностей с помощью текущих или будущих экономических переменных. Портфель, дублирующий экономические переменные, сочетает в себе оба эти подхода. С одной стороны, экономический дублирующий портфель отражает доходность активов. С другой стороны, данный портфель получает доходность, которая имеет экономическую интерпретацию. Формирование портфеля, дублирующего экономические переменные, является способом использования текущей доходности активов в качестве инструментов для измерения будущих переменных.

Дублирующие портфели применяются при решении нескольких вопросов. Одной из проблем является измерение премии за риск. Если дублирующий портфель приносит премию за риск, то тогда знак этой премии и тождество премии, сгенерированной экономическим параметром, могут указать на то, какие экономические параметры значимо влияют на ожидаемую доходность, и могут помочь оценить модель оценки финансовых активов.

Дублирующие портфели имеют как минимум еще три сферы применения, которые не основываются на портфелях, приносящих ненулевую премию за риск. Во-первых, эти портфели могут служить средством хеджирования для индивидуальных инвесторов, которые желают застраховать себя на случай какого-либо определенного экономического риска (например, снижение потребления). Во-вторых, на основе дублирующего портфеля можно строить прогноз поведения какой-либо экономической переменной. Т.к. доходности активов могут быть рассчитаны на каждый день, дублирующие портфели могут предоставить информацию по поводу ожиданий рынка на счет будущего экономики. В-третьих, путем измерения ожиданий, портфели следования выявляют структуру экономики и объясняют реакцию цен на новости, касающиеся экономической сферы.

Эти три сферы приложения дублирующих портфелей могут быть проверены на практике и не зависят от конкретной модели оценки активов. Например, если предположить, что CAPM-модель верна, то в этом случае дублирующий портфель имел бы ожидаемую доходность, имеющую тесную ковариацию с рынком. Но тогда неожидаемая часть доходности была бы все равно отражением новостей о будущем состоянии экономики. Напротив, если предположить, что рынок неэффективен, иррациональные настроения влияют на цены, и доходность частично предсказуема, то в этом случае до тех пор пока цены отражают информацию о будущем состоянии экономических детерминант, доходность дублирующего портфеля также будет применима для хеджирования, прогнозировании и понимания экономики.

2.2 Простые дублирующие портфели

Дублирующий портфель для любой переменной у может быть определен как регрессия у на доходности некоторого набора базовых активов. Доли активов, входящих в дублирующий портфель для у, идентичны коэффициентам в регрессии, построенной с помощью метода наименьших квадратов. Если у является переменной, влияющей на ценообразование базового актива, тогда мультифакторная модель выполняется с одним фактором, который отслеживает портфель, дублирующий переменную у. Однако, даже если у не является значимой переменной для ценообразования активов, то портфель, дублирующий эту переменную, также остается интересным объектом с экономической точки зрения, т.к. он отражает изменения рыночных ожиданий относительной у.

Следующие три утверждения эквивалентны определения дублирующего портфеля. Среди всех возможных линейных комбинаций доходностей базовых активов дублирующий портфель имеет:

А) минимальную вариацию среди всех портфелей с заданной бетой (коэффициентом регрессии) в регрессии доходности портфеля на у;

Б) доходность, максимально возможно коррелирующую с у;

В) наибольший R² в регрессии у на доходность активов.

Эквивалентность данных трех утверждений может быть доказана и с помощью матричной алгебры, и с помощью более простых выкладок. Обозначим:

r – доходность портфеля базовых активов, r = bR,

b – вектор весов активов в портфеле,

R – вектор доходностей данных активов.

Дублирующим портфелем является портфель с весами, которые минимизируют вариацию данного портфеля на у. Другими словами, b подбирается таким образом, чтобы минимизировать

при заданной (где - коэффициент регрессии r на у). Т.к. , минимизация эквивалентна минимизации , что эквивалентно максимизации (где ρ – коэффициент корреляции между у и r). Т.к. R² в простой регрессии является и т.к. метод наименьших квадратов максимизирует R² , решение данной задачи максимизации идентично уравнению регрессии, построенному с помощью МНК.

2.3 Дублирующие портфели для непредвиденных изменений

На основе данной теории можно сформировать портфель с непредвиденными доходностями, которыми максимально коррелируют с непредвиденным компонентом будущего значения переменной у. Таким образом, основной переменной являются «новости» о y_t+k, где y_t+k – макроэкономическая переменная, например темп инфляции в период t+k. Новости являются чем-то новым в ожиданиях относительно y_t+k , причем

. Например, может представлять собой новости, о которых уведомлен рынок в июле 2002 года о темпе инфляции между июлем 2002 и июлем 2003 года.