Методология и методы принятия решения (стр. 9 из 11)

Zj - Сj - индексная строка.

Z₁ – С₁ Þ Z₁ = 0*4+0*1+0*2-10 = -10

Z₂ = 0*2+0*3+0*3-8 = -8

Получение второго базисного решения, и решения вообще, надо преобразовать, первую таблицу во вторую получив улучшенное (решение) значения.

Z - значение целевой функции для данного решения.

Правила определения оптимального решения:

- Полученное значение в симплексной таблице целевой функции считается максимальным (минимальным), если в индексной строке (последней) нет ни одного значения меньше (максимального) 0;

- Если нет ни одного значения больше 0 (минимальное);

- Наибольшее по абсолютной величине отрицательное число в индексной строке указывает на новую базисную переменную (в нашем случае это (– 10) х₁).

- Определение старой базисной переменной, которая должна в новом решении уступить место новой базисной переменной, производится следующем образом:

свободные члены столбца В делятся на коэффициенты столбца при новой базисной переменной и минимальное значение в столбце укажет номер старой базисной переменной.

80/4=20; 60/1=60; 100/2=50.

Составляем вторую базисную таблицу:

Сб	Хб	В	3 = С1	2 = С2	0 = С3	0 = С4	0 = С5
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
4	Х1	20	1	½	4	0	0
0	Х4	40	0	5/2	-1/4	1	0
0	Х5	60	0	2	-1/2	0	1
Zj – Сj		Z = 200	0	-3	5/2	0	0

Столбец новой базисной переменной называется ключевым столбцом. Строка куда попадает новая базисная переменная, называется ключевой строкой. На пересечении ключевой строки и ключевого столбца стоит генеральный элемент.

Правила заполнения таблиц после отправной:

1) Старый ключевой столбец переписывают в новую таблицу в виде нулей, кроме элемента стоящего на пересечении ключевого столбца и ключевой строки, здесь ставится единица – этот элемент называется генеральным.

2) Элементы новой строки соответствующие старой ключевой строке находятся путем деления элементов старой ключевой строки на генеральный элемент.

3) Столбцы старой таблицы, содержащие в ключевой строке ноль, переписываются в новую таблицу без изменения.

4) Все остальные элементы новой таблицы определяются расчетом по формуле:

Новый элемент = старый элемент – Элемент ключевой стоки * элемент ключевого столбца / генеральный элемент.

Для столбца свободных членов (В):

60-80*1/4=60-20=40

100-80*2/4=100-40=60

Для столбца х₂ по тому же правилу:

3-2*1/4=3-1/2=5/2

3-2*2/4=3-1=2

Для столбца х₃:

0-1*1/4=0-1/4=-1/4

0-1*2/4=0-1/2=-1/2

Определяем индексную строку:

0-80*(-10)/4=0+200=200=Z

-8-2*(-10)/4=-8-(-5)=-3

0-1*(-10)/4=0-(-5/2)=5/2

Определяем ключевой столбец таблицы №2 и ключевую строку используем ранее изложенные правила.

Используя правила выделяем генеральный элемент и определяем новую базисную переменную, так как в индексной строке есть отрицательный элемент и решение нуждается в улучшении.

Х₄ заменит Х₂

Составляем третью таблицу:

Сб	Хб	В	3 = С1	2 = С2	0 = С3	0 = С4	0 = С5
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
4	Х1	12	1	0	81/20	-1/5	0
5/2	Х2	16	0	1	-1/10	5/2	0
0	Х5	28	0	0	-3/10	-4/5	1
Zj – Сj		Z = 248	0	0	11/5	6/5	0

40/5/2=40*8/5=16; -1/4/5/2= -1/10

Для столбца свободных членов (В):

20-40*1/2 / 5/2=20-8=12; 60-40*2 / 5/2=60-32=28

Для столбца х₃:

4-(-1/4)*1/2 / 5/2=4+1/20=81/20; -1/2-(-1/4)*2 / 5/2=-1/2+1/5=-3/10

Для столбца х₄ по тому же правилу:

0-1*1/2 / 5/2=0-1/5=-1/5; 0-1*2 / 5/2=0-4/5=-4/5

Определяем индексную строку:

200-40*(-3) / 5/2=200+40*3*2/5=200+48=248=Z

5/2-(-1/4)*(-3) / 5/2=5/2-3/10=22/10=11/5

0-1*(-3) / 5/2=0+6/5=6/5

Из таблицы №3 видно, что в индексной строке отсутствуют отрицательные значения и, следовательно, невозможно дальнейшее назначение итерационных процедур. Полученное значение прибыли Z₀ = 248 рублей прибыли в час, является оптимальным.

Пример №2:

Условие задачи (постановка):

Найти план производства предприятия обеспечивающий максимум прибыли.

Предприятие производит два вида продукции в трех цехах:

А 28

Б 20

В 10

Установлено соответственно: 28;20 и 10 единиц оборудования.

Нормы использования оборудования для производства за 1 час единицы продукции представлены в таблице в машино/часах:

ЦЕХ	ВИДЫ ПРОДУКЦИИ
	1	2
А	3	2
Б	2	1
В	1	0

Прибыль первого вида продукции 4 рубля

Прибыль единицы второй продукции 2 рубля

Требуется определить объем выпуска первого и второго вида продукции доставляющего максимум прибыли.

Решение:

1. Составляем модель.

Пусть х₁ искомый объем u₁ продукции первого вида;

х₂ - u₂ объем выпуска второго вида продукции.

Цель: максимальная прибыль.

Модель:

4х₁ – прибыль от реализации u первого вида продукции

2х₂ – прибыль от реализации u второго вида.

Целевая функция L(х₁х₂) = С₁х₁ + С₂х₂ = 4х₁ + 2х₂

С₁ = 4; С₂ = 2 – коэффициенты при переменных в целевой функции.

Планируемое использование машин по цехам не должно превышать наличие этого оборудования в цехах (по цехам) Þ отсюда система неравенств.

А – 3х₁ + 2х₂ £ 28 ограничение по

Б – 2х₁ + 1х₂ £ 20 использованию

В – 1х₁ + 0х₂ £ 10 оборудования,

условие не отрицательности.

х₁ ³ 0; х₂ ³ 0.

Для решения задачи симплексным методом в условиях ограничений принимается работа каждой машины в цехе в машино/часах.

Система неравенств приводится к каноническому виду, путем добавления дополнительных переменных и перевода неравенств в уравнение:

3х₁ + 2х₂ + х₃ £ 28

2х₁ + х₂ + х₄ £ 20

х₁ + х₅ £ 10

Переведем систему неравенств в уравнение:

х₃ = 28 – (3х₁ + 2х₂) сколько машин

х₄ = 20 – (2х₁ + х₂) нужно

х₅ = 10 – х₁ (машино/часов)

Дополнительные переменные должны быть введены в целевую функцию, которая будет иметь вид:

L(х₁х₂) = С₁х₁ + С₂х₂ + С₃х₃ + С₄х₄ + С₅х₅ = 4х₁ + 2х₂ + 0х₃ + 0х₄ + 0х₅

стремится к максимуму

х₁ > 0; х₂ > 0; х₃ = 0; х₄ = 0; х₅ = 0.

Выразим х₃; х₄ и х₅ через х₁ и х₂

х₃ = 28 – 3х₁ - 2х₂

х₄ = 20 – 2х₁ - х₂

х₅ = 10 – х₁

Модель составлена и в этой модели имеются: х₁; х₂ – независимые (свободные) переменные; х₃; х₄; х₅ – базисные переменные.

По составленной модели используют итерационные процедуры метода, составим альтернативные варианты решения системы уравнений с пятью неизвестными.

Первым решением будет х₁ = 0; х₂ = 0; х₃ = 28; х₄ = 20; х₅ = 10.

Целевая функция будет равняться: L = 4*0 + 2*0 + 0*28 + 0*20 + 0*10=0

Используя систему уравнений, составим отправную таблицу: