Методология и методы принятия решения (стр. 8 из 11)

По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и управления.

По степени агрегирования объектов моделирования модели разделяются на макроэкономические и микроэкономические. Хотя между ними и нет четкого разграничения, к первым из них относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как микроэкономические модели связаны, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.

Экономико-математические модели могут классифицироваться также по характеристике математических объектов, включенных в модель, другими словами, по типу математического аппарата, используемого в модели. По этому признаку могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т.д.

4. Метод линейного программирования в задачах оптимизации плана производства

Линейное программирование – это метод выбора не отрицательных значений переменных минимизирующих или максимизирующих значения линейной целевой функции, при наличии ограничений.

При небольшой размерности переменных до 10-ти в задачах линейного программирования (ЛП) используются итерационные процедуры ввиде конечного числа шагов, пи решении системы линейных уравнений, которые получили название симплексный метод.

Симплекс – многогранник.

Симплексный метод – это совокупность итерации, совершаемая ЛПР от отправного наихудшего варианта целевой функции к экстремальному значению целевой функции, при заданной системе ограничений; в качестве экстремума минимальное или максимальное значение целевой функции. При этом целевая функция и задача ЛП обладают свойством двойственности (т.е. минимум целевой функции может быть всегда заменен максимумом, путем смены знаков самой целевой функции).

Использование графического способа удобно только при решении задач ЛП с двумя переменными. При большем числе переменных необходимо применение алгебраического аппарата. Рассмотрим общий метод решения задач ЛП, называемый симплекс-методом.

Информация, которую можно получить с помощью симплекс-метода, не ограничивается лишь оптимальными значениями переменных. Симплекс-метод фактически позволяет дать экономическую интерпретацию полученного решения и провести анализ модели на чувствительность.

Процесс решения задачи линейного программирования носит итерационный характер: однотипные вычислительные процедуры в определенной последовательности повторяются до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение. Процедуры, реализуемые в рамках симплекс-метода, требуют применения вычислительных машин - мощного средства решения задач линейного программирования.

Симплекс-метод - это характерный пример итерационных вычислений, используемых при решении большинства оптимизационных задач.

Рассмотрим использование симплексного метода ЛП на примере задач оптимизации плана производства.

Пример №1:

Условие задачи (постановка):

Найти план производства предприятия обеспечивающий максимум прибыли.

Предприятие производит два вида продукции в трех цехах:

А 80

Б 60

В 100

Установлено соответственно: 80;60 и 100 единиц оборудования.

Нормы использования оборудования для производства за 1 час единицы продукции представлены в таблице в машино/часах:

ЦЕХ	ВИДЫ ПРОДУКЦИИ
	1	2
А	4	2
Б	1	3
В	2	3

Прибыль первого вида продукции 10 рублей

Прибыль единицы второй продукции 8 рублей

Требуется определить объем выпуска первого и второго вида продукции доставляющего максимум прибыли.

Решение:

1. Составляем модель.

Пусть х₁ искомый объем u₁ продукции первого вида;

х₂ - u₂ объем выпуска второго вида продукции.

Цель: максимальная прибыль.

Модель:

10х₁ – прибыль от реализации u первого вида продукции

8х₂ – прибыль от реализации u второго вида.

Целевая функция L(х₁х₂) = С₁х₁ + С₂х₂ = 10х₁ + 8х₂

С₁ = 10; С₂ = 8 – коэффициенты при переменных в целевой функции.

Планируемое использование машин по цехам не должно превышать наличие этого оборудования в цехах (по цехам) Þ отсюда система неравенств.

А – 4х₁ + 2х₂ £ 80 ограничение по

Б – 1х₁ + 3х₂ £ 60 использованию

В – 2х₁ + 3х₂ £ 100 оборудования,

условие не отрицательности.

х₁ ³ 0; х₂ ³ 0.

Для решения задачи симплексным методом в условиях ограничений принимается работа каждой машины в цехе в машино/часах.

Система неравенств приводится к каноническому виду, путем добавления дополнительных переменных и перевода неравенств в уравнение:

4х₁ + 2х₂ + х₃ £ 80

х₁ + 3х₂ + х₄ £ 60

2х₁ + 3х₂ + х₅ £ 100

Переведем систему неравенств в уравнение:

х₃ = 80 – (4х₁ + 2х₂) сколько машин

х₄ = 60 – (х₁ + 3х₂) нужно

х₅ = 100 – (2х₁ + 3х₂) (машино/часов)

Дополнительные переменные должны быть введены в целевую функцию, которая будет иметь вид:

L(х₁х₂) = С₁х₁ + С₂х₂ + С₃х₃ + С₄х₄ + С₅х₅ = 10х₁ + 8х₂ + 0х₃ + 0х₄ + 0х₅

стремится к максимуму

х₁ > 0; х₂ > 0; х₃ = 0; х₄ = 0; х₅ = 0.

Выразим х₃; х₄ и х₅ через х₁ и х₂

х₃ = 80 – 4х₁ - 2х₂

х₄ = 60 – х₁ - 3х₂

х₅ = 100 – 2х₁ - 3х₂

Модель составлена и в этой модели имеются: х₁; х₂ – независимые (свободные) переменные; х₃; х₄; х₅ – базисные переменные.

По составленной модели используют итерационные процедуры метода, составим альтернативные варианты решения системы уравнений с пятью неизвестными.

Первым решением будет х₁ = 0; х₂ = 0; х₃ = 80; х₄ = 60; х₅ = 100.

Целевая функция будет равняться: L=10*0 + 8*0 + 0*80 + 0*60 + 0*100=0

Используя систему уравнений, составим отправную таблицу:

Сб	Хб	В	10 = С1	8 = С2	0 = С3	0 = С4	0 = С5
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
0	Х3	80	4	2	1	0	0
0	Х4	60	1	3	0	1	0
0	Х5	100	2	3	0	0	1
Zj - Сj		Z0 = 0	-10	-8	0	0	0

Ключевой столбец Генеральный элемент Ключевая строка

В отправной симплексной таблице введены следующие значения:

С_б – коэффициенты при базисных переменных целевой функции.

Х_б - базисные переменные.

В - столбец свободных членов.

Zj - определяется как сумма попарных произведений коэффициентов С_б на элементы столбца В.

Z₀ = 0*80+0*60+0*100 = 0

Сj - коэффициент целевой функции при переменной.