Курсовая работа по ЭММ (стр. 3 из 5)
f(Х) £ j(Y).
Следствие1 (достаточный признак оптимальности). Если для каких-то допустимых решений и задач I и I’ выполняется равенство
f()=j(),
то есть оптимальное решение задачи I, а - оптимальное решение задачи I’.
Следствие2. Если в одной из задач I и I’ целевая функция не ограничена с соответствующей стороны (т.е. max f = ¥ в задаче I или min j = -¥ в задаче I’), то другая задача не имеет допустимых решений.
Основная теорема. Если разрешима одна из двойственных задач I или I’, то разрешима и другая задача, причем max f = min j.
Теорема равновесия. Пусть Х и Y- допустимые решения задач I и I’. Для оптимальности (одновременной) этих решений необходимо и достаточно выполнение равенств
Решение двойственной задачи находится в строке Dj симплекс-таблицы в последних столбцах дополнительных переменных. Переменные yi обозначают оценки одной единицы ресурса.
Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.
Двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи. Если целью является расширение производства и повышение эффективности плана путем привлечения дополнительных ресурсов, то анализ оценок поможет выбрать правильное решение. Прирост различных ресурсов будет давать неодинаковый эффект, т.е. оценки позволяют с большей точностью выявить узкие места, сдерживающие рост эффективности производства. С учетом всех конкретных условий задачи оценки показываю, какие ресурсы более дефицитны, какие менее дефицитны и какие избыточны. Дефицитные ресурсы имеют самые высокие оценки.
2. Задача планирования производства.
2.1 Определение оптимального варианта строительств скважин в УБР на планируемый год.
1. Постановка задачи.
В УБР запланировано строительство скважин нескольких категорий:
I категории - не более H1;
II категории - не более Н2;
III категории - не менее (не более) Н3.
При строительстве скважин используются разные материально-технические ресурсы, наличие которых в УБР ограниченно следующим количеством (в тоннах):
обсадные трубы - В1;
химреагенты - В2;
глина и глинопорошок - В3;
талевый канат - В4;
ГСМ - В5.
При строительстве скважин разной категории потребляется различное количество ресурсов каждого вида. Расход материально-технических ресурсов в расчете на одну скважину каждой категории задан таблицей 1.
Таблица 1
| категории скважин | виды ресурсов | ||||
| Обсадные трубы | Х/реагенты | глина и глинопорошок | Талевый канат | ГСМ | |
| I | 450 | 45 | 130 | 20 | 46 |
| II | 300 | 40 | 110 | 16 | 36 |
| III | 200 | 30 | 70 | 15 | 30 |
Экономический эффект при строительстве скважины j категории определен Эj тыс. руб.
Требуется:
1. Определить оптимальный план строительства скважин, при котором в пределах ограниченного объема ресурсов (табл.1) достигается максимальный экономический эффект.
2. Определить двойственные оценки ресурсов и их устойчивость.
3. Провести всесторонний анализ полученных оптимальных решений.
Таблица 2
| Н1 | Н2 | Н3 | Э1 | Э2 | Э3 | В1 | В2 | В3 | В4 | В5 |
| 15 | 9 | не менее 9 | 186 | 125 | 90 | 4800 | 600 | 1610 | 280 | 580 |
Предприятие имеет 5 видов ресурсов, необходимые для строительства любой из трех категорий скважин. Известны затраты ресурсов на строительство единицы каждой категории скважины, а также экономический эффект при строительстве единицы скважины каждой категории.
Для удобства работы все данные занесем в одну таблицу (табл.3)
Таблица 3. Исходная информация задачи.
| Вид | Категории скважин | Объем | ||
| ресурсов | I | II | III | Ресурсов |
| обсадные трубы | 450 | 300 | 200 | 4800 |
| хим/реагенты | 45 | 40 | 30 | 600 |
| глина и глинопорошок | 130 | 110 | 70 | 1610 |
| Талевый канат | 20 | 16 | 15 | 280 |
| ГСМ | 46 | 36 | 30 | 580 |
| Экономический эффект на единицу скважины, тыс.руб. | 186 | 125 | 90 | |
Введем переменные:
хj ³ 0, j=1,2,3 - количество скважин каждой категории соответственно.
2. Математическая модель задачи.
f = 186х1 + 125х2 +90х3 ® max
х1 £ 15; х2 £ 9; х3 ³ 9 хj ³ 0, j=1,2,3
3.Экономическое содержание основных и дополнительных переменных.
Основные переменные:
х1 - количество скважин I категории
х2 - количество скважин II категории
х3 - количество скважин III категории
Вводим дополнительные переменные:
х4 - неиспользованные обсадные трубы
х5 - остаток неиспользованных хим/реагентов
х6 - остаток неиспользованных глины и глинопорошка
х7 - остаток талевого каната
х8 - остаток ГСМ
х9 - кол-во скважин I-категории, недостающих до max числа 15;
х10 -кол-во скважин II-категории, недостающих до max числа 9;
х11 –кол-во скважин III-категории, превышающих min число 9;
х12 - количество недостроенных скважин по категориям.
4. Канонический вид.
f = 186х1 + 125х2 + 90х3 -М*х12® max
хj ³ 0, j=`1;12
5. Решение симплекс-методом.
| Сб | Хб | план | 186 | 125 | 90 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | Х8 | Х9 | Х10 | Х11 | Х12 | ||||
| 0 | Х4 | 4800 | 450 | 300 | 200 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 24 |
| 0 | Х5 | 600 | 45 | 40 | 30 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 20 |
| 0 | Х6 | 1610 | 130 | 110 | 70 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 23 |
| 0 | Х7 | 280 | 20 | 16 | 15 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 18,7 |
| 0 | Х8 | 580 | 46 | 36 | 30 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 19,3 |
| 0 | Х9 | 15 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | Х10 | 9 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| M | Х12 | 9 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 1 | Min 9 |
| Z | 0 | -186 | -125 | -90 | 0 | 0 | |||||||||
| M | -9 | 0 | 0 | -1 | 1 | -1 | |||||||||
| 0 | Х4 | 3000 | 450 | 300 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 200 | 0 | 6,7 |
| 0 | Х5 | 330 | 45 | 40 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 30 | 0 | 7,3 |
| 0 | Х6 | 980 | 130 | 110 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 70 | 0 | 7,5 |
| 0 | Х7 | 145 | 20 | 16 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 15 | 0 | 7,2 |
| 0 | Х8 | 310 | 46 | 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 30 | 0 | 6,74 |
| 0 | Х9 | 15 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 15 |
| 0 | Х10 | 9 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 90 | X3 | 9 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 1 | |
| Z | 810 | -186 | -125 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -90 | 90 | ||
| M | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||
| 186 | x1 | 6,67 | 1 | 0,67 | 0 | 0,00 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0,44 | -0,44 | 15 |
| 0 | Х5 | 30,00 | 0 | 10,00 | 0 | -0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 10 | -10,00 | 3 |
| 0 | Х6 | 113,33 | 0 | 23,33 | 0 | -0,29 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 12,22 | -12,22 | 9,3 |
| 0 | Х7 | 11,67 | 0 | 2,67 | 0 | -0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 6,11 | -6,11 | -1,9 |
| 0 | Х8 | 3,33 | 0 | 5,33 | 0 | -0,10 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 9,56 | -9,56 | 0,3 |
| 0 | Х9 | 8,33 | 0 | -0,67 | 0 | -0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | -0,44 | 0,44 | |
| 0 | Х10 | 9 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 90 | X3 | 9 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 1 | |
| Z | 2050 | 0 | -1 | 0 | 0,41 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -7,33 | 7,33 | ||
| 186 | X1 | 6,51 | 1 | 0,42 | 0 | 0,035 | 0 | 0 | 0 | -0,047 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| Х5 | 26,51 | 0 | 4,42 | 0 | 0,035 | 1 | 0 | 0 | -1,047 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | Х6 | 109,07 | 0 | 16,51 | 0 | -0,79 | 0 | 1 | 0 | -1,279 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | Х7 | 9,53 | 0 | -0,74 | 0 | 0,10 | 0 | 0 | 1 | -0,64 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | Х11 | 0,35 | 0 | 0,56 | 0 | -0,92 | 0 | 0 | 0 | 0,10 | 0 | 0 | 1 | -1 | |
| 0 | Х9 | 8,49 | 0 | -0,42 | 0 | -0,03 | 0 | 0 | 0 | 0,05 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | Х10 | 9 | 1 | 0,00 | 0 | 0,00 | 0 | 0 | 0 | 0,00 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 90 | X3 | 9,35 | 0 | 0,56 | 1 | 0,00 | 0 | 0 | 0 | 0,10 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| Z | 2052,56 | 0 | 3,09 | 0 | 0,33 | 0 | 0 | 0 | 0,77 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| M | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Оптимальное решение.